77 Ду. Занятия 9-13
Часть 2. Дифференциальные уравнения (ду) n-го порядка.
Занятие 9. Уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
|
Ауд. |
Л-2, Гл. 10 |
№ 211, 215, 219, 235, 239, 241, 245, 251. |
8 |
☺ ☻ ☺
Известно, что при
нахождении корней многочлена
-
го порядка понижение порядка многочлена
на несколько единиц существенно понижает
общую трудоёмкость нахождения всех
корней многочлена!.. В общей теории
многочленов разработаны методы
последовательного нахождения корней:
теоремы Безу, Виета и другие!..
При решении
дифференциальных уравнений
-
го порядка понижение порядка уравнения
хотя бы на 1 также может существенно
ускорить, и облегчить, процесс нахождения
его решений! Рассмотрим несколько
специальных типов уравнений, позволяющих
применить процесс понижения порядка
заданного уравнения!
Тип–А.
Уравнение задано в виде:
=
.
Так как
=
,
то исходное уравнение можно записать
в виде:
=
и интегрировать его как уравнение 1-го
порядка: 
=
+
. (1)
Выражение является
дифференциальным уравнением
-
го порядка! Результат: для данного типа
уравнений удается исходную задачу
решения ДУ
-
го порядка свести к задаче решения ДУ
1-го порядка. Конечно, для полного решения
задачи придется применить найденный
способ
раз, но это уже не важно.
Тип–В.
Уравнение задано в виде:
,
то есть не содержит явно переменную
и производные порядка ниже
-
го не участвуют.
В этом случае
принимают:
=
и далее записывают:
=
,...,
=
.
В результате получаем уравнение: 
. (2)
Выражение (2)
является дифференциальным уравнением
порядка
.
Решением этого уравнения будет: 
, (3)
что равносильно
переходу к уравнению Типа–А:
=
=
.
Результат: для
данного типа уравнений удается исходную
задачу решения ДУ
-
го порядка свести к задаче решения ДУ
порядка
.
Тип–С.
Уравнение задано в виде:
– не содержит явно переменную
.
В этом случае
принимают:
=
и далее записывают:
,
и так далее. В результате получаем
уравнение:
. (4)
Выражение (4)
является дифференциальным уравнением
порядка
.
Решением этого уравнения запишем в
виде: 
, (5)
что равносильно
переходу к уравнению первого порядка:
=
=
.
Результат: для
данного типа уравнений удается исходную
задачу решения ДУ
-
го порядка свести к задаче решения ДУ
порядка
.
Тип–
D.
Уравнение задано в виде:
– полная производная по переменной
.
В этом случае «на
первом шаге интегрирования» имеем
уравнение 1-го порядка. Его решение
записывается в виде выражения:
далее решают уравнение порядка
.
Результат: для
данного типа уравнений удается исходную
задачу решения ДУ
-
го порядка свести к задаче решения ДУ
порядка
.
Тип–
E.
Уравнение задано в виде:
,
причем функция F(...) –
однородная относительно переменных y,
y′, y′′,…
, y(n),
то есть:
=
.
(6)
В этом случае
применяют подстановку: u=
и переходят к уравнению порядка
.
Результат: для
данного типа уравнений удается исходную
задачу решения ДУ
-
го порядка свести к задаче решения ДУ
порядка
.
Рассмотренные типы уравнений имеют сходство в том, что в каждом случае поставленная задача «понизить порядок уравнения» решается по «стандартному алгоритму».
••• ≡ •••
Пример
1–211:
Решить
ДУ:
=
,
используя метод понижения порядка.
Решение:
1). Видим, уравнение относится к Типу–А.
2).
В результате первого интегрирования
получаем:
=
+
=
+
.
3). В результате
2-го интегрирования имеем:
=
+
=
+
+
.
Учтем:
=
–
,
и запишем общее решение заданного
уравнения:
=
–
+
+
.
Ответ:
общее решение:
=
–
+
+
.
Пример
2–215:
Решить
ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Решение:
1). Видим, уравнение
относится к Типу–В: явно не содержит
.
Сразу учтем:
=0
является решением уравнения →
=
– решение.
2). Примем:
=
,
тогда
и уравнение принимает вид:
,
или
=
.
Теперь
(уже учтено!).
3). После интегрирования
получаем:
=
+
,
=
.
Из последнего интегрированием получаем:
=
,
или
– общее решение.
Замечание: 1). Из
исходного уравнения можно заметить
решение:
=
,
то есть
=
+
.
Это же получим, если заметить при решении
уравнения:
=
+
«ситуацию»
=0,
что легко проверяется.
2). Догадаться о
необходимости рассмотрения отдельно
случая
=0
при решении уравнения:
=
+
нетрудно, если все время помнить, что
каждое нарушение «эквивалентности
преобразований» требует соответствующей
«реакции».
Ответ:
– общее решение. Также решения
=
;
=
+
,
которые из общего не получаются ни при
каких значениях
,
.
Пример
3–219:
Решить
ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Решение:
1).
Видим, уравнение относится к Типу– C:
явно не содержит
.
2). Примем:
=
→
и уравнение принимает вид:
,
или
=
.
Интегрируем последнее:
.
Разрешим относительно производной:
=
.
3). Интегрирование
уравнения:
=
дает:
=x+
.
Из полученного выражения видим, что
случай уравнения:
=
за счет выбора постоянной
даст такое же решение:
=
.
Последнее выражение можно записать в
виде:
,
заменив произведение
постоянной
.
Ответ:
– общее решение.
Пример
4–235:
Решить
ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Решение:
1). Видим, уравнение
относится к Типу–С: явно не содержит
.
Из исходного уравнения имеем решение:
,
то есть
=0.
2). Примем:
=
→
и перепишем уравнение:
.
Так как решение
=0
уже учтено, то далее имеем:
=
.
Интегрирование уравнения даёт:
,
или
– уравнение с разделяющимися
переменными.
3). Последнее
уравнение запишем в виде:
=
→ интегрируем:
.
Ответ: общее
решение:
,
также
.
Пример
5–239:
Решить
ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Решение:
1). Видим, что
уравнение явно не «намекает» ни на какой
из рассмотренных типов уравнений. Но,
«по логике вещей», ему «придется быть»
Типом– D. Действительно,
исходное уравнение легко переписать в
виде:
.
2). Интегрирование
уравнения даёт:
– однородное уравнение. Решаем,
применяя стандартный алгоритм:
3). Примем
и запишем:
=
=
.
Исследуем равенство:
,
в нашем случае
,
–
семейство прямых, проходящих через
начало координат
.
4). Теперь примем
и вычислим интеграл
=
=
.
5). Для функции
получено общее решение:
=
,
или
.
Учитывая, что
,
перепишем общее решение использованием
:
.
Ответ: общее
решение:
,
также
,
которое может быть получено из общего
решения при значении произвольной
постоянной
.
Пример
6–241:
Решить
ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Решение:
1). Видим, уравнение
Типа– E: однородность
относительно переменных:
.
Из исходного уравнения имеем решение:
.
2). Перепишем
уравнение: x2
=
.
Далее стандартно: примем
=
и вычислим производную:
=
.
Учитывая
и
=
,
перепишем исходное уравнение в виде:
– линейное уравнение → применим
стандартный алгоритм, учитывая, что
и
.
Примем
,
где
и
.
3). Вычисляем
интеграл:
=
=
и записываем выражение:
=
=
.
4). Вычисляем:
=
=
+
=
.
5). Запишем общее
решение линейного уравнения:
=
∙
.
6). Учитывая
=
,
запишем уравнение:
– уравнение с разделяющимися переменными
→ интегрируем:
,
или
.
Ответ:
общее решение:
,
также
.
Пример
7–245:
Решить
ДУ:
,
=1;
=0.
Решение:
1). Видим, уравнение относится к Типу–А.
2). Интегрируем 1-й
раз:
.
Используя начальные условия, получаем:
=1.
3). Интегрируем 2-й
раз:
.
Используя начальные условия, получаем:
=3.
4). Записываем
частное решение для заданных начальных
условий:
.
Ответ: частное
решение:
.
Пример
8–251:
Решить
ДУ:
=
,
=0;
=1.
Решение:
1). Видим, уравнение
относится к Типу–С: явно не содержит
.
2). Примем:
=
→
.
Уравнение принимает вид:
,
или
=
.
Интегрируем последнее:
,
или
.
Для заданных начальных условий
=1.
Получено уравнение:
.
3). В результате
интегрирования имеем:
.
Для заданных начальных условий
=0.
Тогда можем записать:
,
причём
.
Ответ: частное
решение:
,
причём
.
☻
Вопросы для самопроверки:
-
В чем смысл задачи понижения порядка дифференциального уравнения?
-
Какие типы уравнений используются в задаче понижения порядка ДУ?
-
Как решают уравнения типа: y(n) = f(x)?
-
Как решают уравнения типа: F(x, y(k), y(k+1),… , y(n)) = 0?
-
Как решают уравнения типа: F(y,y′,y′′,…, y(n)) =0?
-
Как решают уравнения типа: (F(x, y, y′, y′′,…, y(n–1)))′ =0?
-
Как решают уравнения типа: F(x, y, y′, y′′,…, y(n)) =0, причем функция F(...) – однородная относительно переменных y, y′, y′′,… , y(n)?
-
В каких ситуациях возможна потеря части решений дифференциального уравнения?
Задачи для самоподготовки:
Пример
C9–1:
Решить ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Ответ:
общее решение:
=
–
+
+
.
Пример
C9–2:
Решить ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Ответ:
решения: 1)
и
;
2)
;
3)
.
Пример
C9–3:
Решить ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Ответ:
–
общее решение.
Пример
C9–4:
Решить ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Ответ:
общее решение:
.
Пример
C9–5:
Решить ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Ответ:
общее решение:
,
также
.
Пример
C9–6: Решить
ДУ:
,
=1;
=0.
Ответ:
частное решение
для заданных начальных условий:
.
•• ☻☻ ••