§ 3. Уравнение, разрешенное относительно y и не содержащее X.

Из названия параграфа следует, что дифференциальное уравнение имеет вид: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:

1). Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .

2). Имея: , запишем . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = – уравнение с разделяющимися переменными.

3). Учтём решение , то есть =0. Принимая , можем записать: = . Интегрируя последнее, получаем: = .

4). Составим систему: – это параметрическое решение уравнения .

☺☺

Пример 5–02: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: = . Так как есть некоторая функция переменной , то и .

2). Имея: , запишем , где = . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = . В нашем случае: = – уравнение с разделяющимися переменными!

3). Учитывая, что , можем записать: = , которое легко интегрируется: = , то есть = .

4). Составим систему: , или – это параметрическое решение.

Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . Так как для нас важнее освоение самого метода параметрического решения, то дальнейшие алгебраические упражнения советуем не выполнять!..

Ответ: общее решение: в параметрической форме.

Пример 5–03: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: = . Так как есть некоторая функция переменной , то и .

2). Имея: , запишем , где = . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = . В нашем случае: = – уравнение с разделяющимися переменными!

3). Учтём решение , то есть . Принимая , можем записать: = .

4). Запишем: = + + = . Вычислим = ; применим замену: и запишем = ; применим замену: и запишем = = = = ; используя замену , запишем окончательно: = . Что касается вычисления интеграла , то здесь применением замены: сразу можем записать: = .

5). Окончательное выражение для неизвестной имеет вид: = + + .

6). Составим систему: – это параметрическое решение.

Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать: не получится!..

Ответ: – общее решение в параметрической форме, также решение .

☻

§ 4. Уравнение, разрешенное относительно X и не содержащее y.

Из названия параграфа следует, что дифференциальное уравнение имеет вид: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:

1). Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .

2). Имея: , запишем . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = – уравнение с разделяющимися переменными.

3). Интегрируя уравнение: = получаем: = .

4). Составим систему: – это параметрическое решение уравнения .

☺☺

Пример 5–04: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: = .

2). Имея: , запишем , где = . В то же время , или: = . В нашем случае: = – уравнение с разделёнными переменными!

3). Интегрируем уравнение: = = , или = .

4). Составим систему: , или – это параметрическое решение.

Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать!..

Ответ: – общее решение в параметрической форме.

Пример 5–05: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: = , то есть . Перепишем исходное уравнение: = .

2). Имея: , запишем , где = . В то же время , или: = . В нашем случае: = – уравнение с разделёнными переменными!

3). Интегрируем уравнение: = + = – + . Представив = , вычислим отдельно и . Первый: = (его обычно имеют в таблице интегралов!). Второй: = – его получают интегрированием по частям.

4). Составим систему: – это параметрическое решение.

Ответ: – общее решение в параметрической форме.

☻