§ 3. Уравнение, разрешенное относительно y и не содержащее X.

Из названия параграфа следует, что дифференциальное уравнение имеет вид: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:

1). Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .

2). Имея: , запишем . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = – уравнение с разделяющимися переменными.

3). Учтём решение , то есть =0. Принимая , можем записать: =. Интегрируя последнее, получаем: =.

4). Составим систему: – это параметрическое решение уравнения .

☺☺

Пример 5–02: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: =. Так как есть некоторая функция переменной , то и .

2). Имея: , запишем , где =. В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: =. В нашем случае: = – уравнение с разделяющимися переменными!

3). Учитывая, что , можем записать: =, которое легко интегрируется: =, то есть =.

4). Составим систему: , или – это параметрическое решение.

Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . Так как для нас важнее освоение самого метода параметрического решения, то дальнейшие алгебраические упражнения советуем не выполнять!..

Ответ: общее решение: в параметрической форме.

Пример 5–03: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: =. Так как есть некоторая функция переменной , то и .

2). Имея: , запишем , где =. В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: =. В нашем случае: = – уравнение с разделяющимися переменными!

3). Учтём решение , то есть . Принимая , можем записать: =.

4). Запишем: =++=. Вычислим =; применим замену: и запишем =; применим замену: и запишем ====; используя замену , запишем окончательно: = . Что касается вычисления интеграла , то здесь применением замены: сразу можем записать: =.

5). Окончательное выражение для неизвестной имеет вид: =++.

6). Составим систему: – это параметрическое решение.

Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать: не получится!..

Ответ: – общее решение в параметрической форме, также решение .

☻

§ 4. Уравнение, разрешенное относительно X и не содержащее y.

Из названия параграфа следует, что дифференциальное уравнение имеет вид: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решения в параметрической форме:

1). Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: . Так как есть некоторая функция переменной , то и .

2). Имея: , запишем . В то же время . Учитывая оба выражения для дифференциала , нетрудно записать: = – уравнение с разделяющимися переменными.

3). Интегрируя уравнение: = получаем: =.

4). Составим систему: – это параметрическое решение уравнения .

☺☺

Пример 5–04: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: =.

2). Имея: , запишем , где =. В то же время , или: =. В нашем случае: = – уравнение с разделёнными переменными!

3). Интегрируем уравнение: ==, или =.

4). Составим систему: , или – это параметрическое решение.

Замечание: Можно было бы попробовать выразить из системы решение в виде: . В нашем случае лучше не пробовать!..

Ответ: – общее решение в параметрической форме.

Пример 5–05: Найти общее решение уравнения: в параметрической форме.

Решение:

1). Форма записи уравнения имеет вид: . Примем: =, то есть . Перепишем исходное уравнение: =.

2). Имея: , запишем , где =. В то же время , или: =. В нашем случае: = – уравнение с разделёнными переменными!

3). Интегрируем уравнение: =+=–+. Представив =, вычислим отдельно и . Первый: = (его обычно имеют в таблице интегралов!). Второй: = – его получают интегрированием по частям.

4). Составим систему: – это параметрическое решение.

Ответ: – общее решение в параметрической форме.

☻