§ 3. Линейная зависимость решений линейного однородного уравнения

Понятия линейной зависимости и независимости совокупности решенийдифференциального уравнения является важнейшим в теории (и практике!) линейных уравнений.

Пусть имеем совокупность некоторых (то есть произвольных) функций,,...,одной переменной. Определим для них понятия линейной зависимости и независимости.

Определение: (8.1)

Совокупность функций ,,...,, называют линейно зависимой, если возможна запись: , причём хотя бы одно из чисел в линейной комбинации не равно нулю. Если такая запись возможна только в случае, если все числа , равны нулю, говорят, что рассматриваемая совокупность функций линейно зависима.

Как и в теории линейных векторных пространств, нередко оказывается полезным ещё одно (эквивалентное!) определение линейной зависимости совокупности функций. Для удобства записи, определим совокупность функций в виде:,,,...,.

Определение: (8.2)

Совокупность функций ,,,...,, называют линейно зависимой, если для одной из функций совокупности (пусть это функция ) возможна запись: =.

Пусть теперь в совокупности функций ,,...,используютсяфункции-решениянекоторого линейного однородного дифференциального уравнения- го порядка, и эта совокупность функций обладает свойствами:

▪ : совокупность решений: ,,...,линейно независима,

▪ :любоерешениеэтого уравнения может быть записано как линейная комбинация решений, используемых в совокупности:=, где,– произвольные числа,

▪ :общее решениеэтого уравнения может быть записано в виде линейной комбинации:=, где, – произвольные постоянные, выбор которых обеспечивает решение задачи Коши (удовлетворение начальных условий).

Определение: (8.3)

Если совокупность функций-решений линейного однородного дифференциального уравнения ,,..., обладает свойствами , то её называют фундаментальной системой решений (ФСР) этого уравнения.

При определении понятия ФСР мы сформировали набор свойств совокупности функций-решений ,,...,, не доказав, что для линейного однородного уравнения из принятого (и понятного) свойстваобязательно следуют свойстваи.

Что касается свойства , то для конкретной совокупности решений,,...,заданного уравнения нужно убедиться (или знать заранее), что эта совокупность независима. А в определении ФСР принято как факт, что совокупность функций,,...,независима.

По свойству . То, что линейная комбинация решений,,...,есть решение, доказано в Теоремах о решениях линейного однородного уравнения. Но, то, чтолюбое(всякое!) решениеуравнения может быть представлено в форме:=, нужно доказать.

По свойству . То, что запись решения уравнения:=содержитпроизвольных постоянных величин,, необходимо! Но, возможно ли в таком случае решение задачи Коши (для подтверждения одного из свойств общего решения), также требуется доказать!