§ 2. Некоторые теоремы о решениях линейного уравнения.

Прежде, чем приступить к изучению теорем о решениях линейных дифференциальных уравнений - го порядка, необходимо определить понятиерешенияуравнения- го порядка.

Как определено решение уравнения 1-го порядка ? – Всякая функция, которая, будучи подставлена в исходную запись уравнения, обращает его в тождество. Указание подставить функцию в заданное уравнение все понимают как выполнение действий: 1) вычислить производнуюдля функции; 2) подставитьив уравнениеи убедиться, что уравнение превратилось в тождество!

А если имеем дифференциальное уравнение - го порядка, как в этом случае необходимо определить его решение? Оказалось, определение решения для уравнения- го порядка ничем не отличается от определения решения для уравнения 1-го порядка! Но, указание подставить функцию в заданное уравнение теперь понимают как выполнение более сложных действий: 1) вычислить производныедля функции; 2) подставитьи производныев уравнениеи убедиться, что уравнение превратилось в тождество!

Теперь уместно задать себе вопрос: а существует ли решениедля заданного уравнения?..

Для уравнения 1-го порядка (для простоты и наглядности) мы ограничились специальной (нормальной) формой записи уравнения: . Определив область определенияфункции, и задав точку, записали Теорему о существовании и единственности решенияуравнения, которое удовлетворяет условию (начальному):.

Теорема: (1.1)

Если функция определена и непрерывна по каждой из переменных в области D, а также непрерывна в этой области ее частная производная , то существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее условию: .

Было отмечено, что теорема определяет условия единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения в заданной точке, принадлежащей области. Также было отмечено, что Теорему можно проиллюстрировать так: в областичерезкаждуюточкупроходиттолькооднаиз интегральных кривых!..

Для линейного уравнения 1-го порядка, заданного в виде: , гдеинепрерывные в замкнутой областифункции, применимость Теоремы 1.1 очевидна. Если переписать уравнение в нормальной форме:=, непрерывность правой части уравнения в областиобеспечивается непрерывностью функцийи, также непрерывна в областичастная производная =. Это значит, что достаточные условия единственности решения линейного уравнения 1-го порядка обеспечиваются!

Для уравнения - го порядка поступим аналогично. Воспользуемся нормальной формой записи:=. Определим область определенияфункции, и зададим точку. В этом случае Теорема о существовании и единственности решенияуравнения=, которое удовлетворяет начальным условиям:, =,...,=записывают так.

Теорема: (8.1)

Если функция определена и непрерывна в окрестности начальных условий по каждой из переменных, а также имеет непрерывные частные производные по переменным , то существует единственное решение уравнения =, непрерывное в окрестности точки и удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Это значит, что теорема (8.1) определяет условия единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения=в заданной точке, принадлежащей области. Теорему можно проиллюстрировать так: в областичерезкаждуюточкупроходиттолькооднаиз интегральных кривых с заданными свойствами, которые определяются совокупностью начальных условий!..

Замечания: 1). Учитывая геометрический смысл производной , нетрудно догадаться, что для уравнения = выполнение условий Теоремы (8.1) означает: через заданную точку проходит только одна интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом касательной: =.

2). Учитывая геометрический смысл производной , нетрудно догадаться, что для уравнения = выполнение условий Теоремы (8.1) означает: через заданную точку проходит только одна интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом касательной: = и заданной кривизной, определяемой производной: =. Известно, что в точке кривая выпукла вниз, если , и наоборот: кривая выпукла вверх, если .

Для линейного уравнения - го порядка:, где,,...,, инепрерывные в замкнутой областифункции, применимость Теоремы 8.1 очевидна. Перепишем уравнение в нормальной форме:

. (7)

Непрерывность правой части уравнения (7) в области обеспечивается непрерывностью функций,,...,, и, также непрерывны в областивсе частные производные по переменным− это соответствующие непрерывные функции:,...,. Из этого следует, чтодостаточные условия единственности решениялинейного уравнения- го порядкаобеспечиваются!

Прежде, чем приступить к изучению других теорем о решениях линейных дифференциальных уравнений - го порядка, рассмотрим пример, в котором иллюстрируется понятиерешениеуравнения.

☺☺

Пример 8–01: Проверить, является ли функция решением уравнения: .

Решение:

1). Вычислим производные заданной функции: =, =.

2). Подставим в заданное уравнение найденные производные: =0. В соответствии с определением, функция есть решение заданного уравнения.

Ответ: функция есть решение заданного уравнения.

☻

Рассмотренный Пример показывает, что алгоритм проверки факта, является ли некоторая функция решением заданного уравнения, не зависит от порядка уравнения.

Учитывая тот факт, что многие имеют большие трудности в восприятии громоздкой информации (особенно, когда в записи алгебраического выражения встречаются вставки и так далее), мы все Теоремы о решениях линейных уравнений будем рассматривать на примере уравнения 2-го порядка.

Прежде всего, рассмотрим теоремы о решениях для линейного однородногоуравнения, представленного в записи:. (8)

Теорема: (8.2)

Если и – два решения уравнения (8), то и их сумма: – тоже решение уравнения (8).

►Так как каждая из функций и есть решение уравнения (8) то должны выполняться (тождественно) следующие равенства: , (9)

. (10)

Сложим равенства (8) и (9) и запишем: . Полученное равенство-тождество показывает, что функцияесть решение уравнения (7).◄

Следующая Теорема относится к произведению функции, являющейся решением уравнения, на произвольное число.

Теорема: (8.3)

Если функция – решение уравнения (8), то и – тоже решение уравнения (8).

►Так как функция есть решение уравнения (8) то должны выполняться (тождественно) следующие равенства: , (11)

. (12)

Равенство (12) получено умножением тождества (11) на число, не равное нулю. В таком случае (12) есть тоже тождество. Это значит, что функция есть решение уравнения (8). ◄

Если внимательно посмотреть на используемые при доказательстве Теорем аналитические выражения, то без труда можно получить обобщение этих Теорем на случай любого линейного однородного дифференциального уравнения - го порядка:

▪ сумма любых решений линейного однородного уравнения есть тоже решение;

▪ произведение любого решения линейного однородного уравнения на произвольное число есть тоже решение.

Дальнейшее обобщение Теорем можно представить в виде:

▪ если ,,...,– любые решения линейного однородного уравнения- го порядка, то и любая линейная комбинация этих решений:есть тоже решение этого уравнения.

По мере изучения понятий общее решениелинейного уравнения ичастное решениелинейного уравнения состав Теорем о решениях линейных уравнений будет расширяться.