134

Глава 8. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

В природе и инженерной практике часто встречаются нелинейные задачи: параметры (обозначим их как,,...,), определяющие исследуемый процесс, участвуют в процессе нелинейно. Это значит, что в аналитическом выражении, определяющем математическую модель этого процесса, параметры,,...,употребляются нелинейно.

Исследование процесса с применением нелинейных моделей часто оказывается трудоемким и сложным. В таких случаях ищут линейные модели (линеаризациямодели) относительно параметров,,...,, которые позволяют исследовать процесс с заданной точностью.

В настоящей Главе мы рассмотрим модели процессов, которые представляются линейными дифференциальными уравнениями - го порядка.

§ 1. Общие положения.

Прежде, чем приступить к изучению линейных дифференциальных уравнений - го порядка, систематизируем наши знания в области линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

▪ Для записи уравнения используется линейная комбинация переменных с коэффициентами в виде функций от переменной:. (1)

▪ Пусть есть некоторая функция переменной. Тогда линейную комбинацию (1) можно считать некоторой функциейи записать равенство:. (2)

▪ Если в равенстве (2) коэффициенты ,и функциязаданы, а функциянеизвестна, то равенство (2) называют линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка для функции.

Выражение (2) будем считать общей записьюлинейного дифференциального уравнения 1-го порядка. Выделим частные случаи записи (2):

▪ если правая часть уравненияравна нулю, уравнение называют –однородное;

▪ если правая часть уравненияне равна нулю, уравнение называют –неоднородное;

▪ если , уравнение имеет вид. (3)

Замечание: Так как в записи дифференциального уравнения 1-го порядка необходимо, то запись (3) может быть получена из записи (2) делением на коэффициент, с соблюдением тождественности алгебраических преобразований. Форму записи (3) мы определили какстандартную записьлинейного дифференциального уравнения 1-го порядка.

Определим линейное дифференциальное уравнение - го порядка, как обобщение линейного уравнения 1-го порядка.

▪ Для записи уравнения будем использовать линейную комбинацию переменных с коэффициентами в виде функций от переменной:

. (4)

▪ Пусть есть некоторая функция переменной. Тогда линейную комбинацию (4) можно считать некоторой функциейи записать равенство:

. (5)

▪ Если в равенстве (5) коэффициенты ,,...,и функциязаданы, а функциянеизвестна, то равенство (5) называют линейным дифференциальным уравнением- го порядка для функции.

Выражение (5) есть общая записьлинейного дифференциального уравнения- го порядка. Выделим частные случаи записи (5):

▪ если правая часть уравненияравна нулю, уравнение называют –однородное;

▪ если правая часть уравненияне равна нулю, уравнение называют –неоднородное;

▪ если , уравнение имеет вид:. (6)

Замечание: Так как в записи дифференциального уравнения- го порядка необходимо, то запись (6) может быть получена из записи (5) делением на коэффициент, с соблюдением тождественности алгебраических преобразований. Форму записи (6) определим какстандартную запись(простейшую) линейного дифференциального уравнения- го порядка.