Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mod4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

300.68 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Модуль 4

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.


Пусть	- линейное пространство		и каждому	вектору , принадлежащему ,
поставлен в соответствие вектор		.	Соответствие	:	называется оператором,
определенным в линейном пространстве,			.	:

Характеристическая	матрица	и	характеристический
многочлен.
Определение: Матрица	называется характеристической матрицей матрицы А и
записывается в виде:

…

… … … … ,

где А – квадратная матрица порядка n с действительными элементами и число λ– некоторое неизвестное число.

Определение: Определитель | | - многочлен от λ степени n называют

характеристическим, а его корни – характеристическими корнями (могут быть как действительными, так и комплексными).

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

Пусть в пространстве Vn задан линейный оператор A. Если вектор x отличен от нуля

и:

Ax = λ0x,

где λ0- действительное число. Тогда вектор x называют собственным вектором оператора A, а число λ0 - собственным значением этого преобразования.

Теорема: Действительные характеристические корни линейного оператора A, если они существуют, и только они, служат собственными значениями этого преобразования.

Для нахождения собственных векторов удобно пользоваться формой записи векторов матрица-столбец. Можно записать Аx = λ0x или Аx - λ0x = 0.

Последнее означает, что совокупность ненулевых решений системы линейных уравнений:

a			−	λ	0	a	21	...		a		n1			x
	11				0		21					n1				1
		a12				a22 −λ0		...		an2					x2		= 0
(A −λ0E) X =						...		...			...						= 0
...						...		...			...				...
		a				a	2n	...	a	nn	−		λ		x	n	,
			1n				2n			nn				0		n	,

совпадают с совокупностью собственных векторов линейного оператора A.

Пример: Найти собственные векторы линейного оператора A, заданного в некотором

базисе матрицей:	2	5	1 .
	1	3	0
	2	3	2

Решение: Решение задачи может проводиться по следующему алгоритму:

1) находим корни характеристического многочлена:

2	5	1	3	3	1	1
1	3	0	3	3	1	1
2	3	2

т.е. корни многочлена A(λ): λ1 = -1, кратности 3.

2) находим собственные векторы линейного преобразования:

3	5	0	0,	2	0,
2	2	0	0,	2	0,
2	3		0,		,

Пусть x3 = с, тогда x1 = 2с, x2 = - с, следует: b = с (2, -1, 1).

Ответ: собственные значения: λ1 = λ2 = λ3 = -1; собственные векторы линейного преобразования имеют вид: b = с (2, -1, 1), где с ≠ 0.

Линейные операторы в пространстве со скалярным произведением.

Пусть	-	линейный оператор,		действующий			в пространстве	со	скалярным
произведением		, .
Определение: Линейный оператор			называется сопряженным к оператору						, если для
любых векторов		, выполняется равенство			,	,	.
Определение: Линейный оператор H в пространстве со скалярным произведением
называется самосопряженным, если					. Самосопряженный оператор в унитарном
(евклидовом) пространстве называется так же эрмитовым (симметричным).
Для того чтобы оператор был эрмитовым (симметричным), необходимо и достаточно,
чтобы в любом		ортонормированном		базисе		его матрица		удовлетворяла

соотношению	. Такие матрицы называются эрмитовыми (симметричными).
Определение: Линейный оператор			в унитарном (евклидовом) пространстве называется
унитарным (ортогональным), если			, т.е.		.
Для того чтобы оператор		был унитарным (ортогональным) необходимо и достаточно,
чтобы в любом ортонормированном базисе его матрица					удовлетворяла
соотношению			. Такие матрицы		называются унитарными
(ортогональными).
Приведение	матрицы		линейного	преобразования		к
диагональному виду.
Линейный оператор		тогда и только тогда задается в базисе
					векторами
диагональной матрицей, если все векторы этого базиса являются собственными ,						,…,

оператора .

Это следует из равенств:

, i = 1, 2, … , n

Известно, что	собственные	векторы		линейного преобразования ,
относящиеся к	различным	собственным	векторам, составляют линейно независимую
			, ,…,

систему.

Следствие: Всякая матрица, все характеристические корни которой действительные и различны, подобна диагональной матрице, т.е. приводится к диагональной форме. Это значит, что в базисе , ,…, , составленном из собственных векторов, матрица линейного преобразования имеет диагональную форму.

Пример 2: Найти собственные векторы линейного преобразования , заданного в

некотором базисе матрицей:	1	2 .	Построить базис, составленный из
	5	4

собственных векторов и матрицу линейного преобразования в этом базисе.

Решение: Решение задачи может проводиться по следующему алгоритму:

1)	находим	1	корни				характеристического				многочлена:
		1	5	4	2		5	6	1	6
т.е. корни многочлена		(λ): λ1 = -1, λ2 = 6.
2)	находим собственные векторы линейного преобразования,
а) собственный вектор b1 для собственного числа λ1 = -1:
			2		2	0,			0,
			5		5	0,			0,
Пусть x1 = 1, тогда x2 = -1, следует: b1 = (1, -1).
б)	собственный	вектор			b2	для	собственного			числа	λ2	=	6:
			5		2	0,	5	2	0,
			5		2	0,	5	2	0,
Пусть x1 = 2, тогда x2 = 5, следует: b2 = (2, 5).									, .
3)	строим базис из собственных найденных векторов								, .

4) составляем диагональную матрицу линейного заданного преобразования в базисе

1 0

0 6

Ответ: собственные значения: λ1 = -1,	λ2 = 6; собственные векторы	линейного
преобразования: для λ1 = -1 имеет значение	b1 = (1, -1), для λ2 = 6 значение	b2 = (2, 5);

диагональная форма матрицы. линейного преобразования в базисе			,	имеет
простейший вид:	1	0
	0	6
Матрица	самосопряженного оператора всегда приводится к диагональному виду.
При этом, используя понятие унитарного оператора, ее можно представить в виде

где U – матрица унитарного оператора, осуществляющего переход от исходного базиса к базису из собственных векторов оператора , а D – диагональная матрица.

Задания:

Задание 1.1. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора,

заданного матрицей	1	5	1	и проверить результат с помощью функции eig()
заданного матрицей	1	1	3	и проверить результат с помощью функции eig()
	3	1	1

>> d=eig(A) %Функция вычисляет собственные значения матрицы A.

>>[V,D]=eig(A) %Матрица V состоит правых собственных векторов, удовлетворяющих соотношению A * V= V * D. Эти векторы нормированы так, что норма каждого из них равна единице.

Задание 1.2. Привести матрицу	0	0	1	0	линейного оператора к
Задание 1.2. Привести матрицу	0	1	0	0	линейного оператора к
	0	0	0	1
	6	1	7	1

диагональному виду и найти соответствующий базис. Результаты поверить с помощью функции eig ()

Задание 1.3. Для матрицы	4	1	0	найти диагональную матрицу D и
Задание 1.3. Для матрицы	1	4	0	найти диагональную матрицу D и
	0	0	1

унитарную (ортогональную) матрицу U и проверить результат с помощью функции eig()

Билинейные и квадратичные формы

Квадратичные формы

Определение: В действительном линейном пространстве

задана линейная форма, если

каждому вектору

поставлено в соответствие число

, причем выполнены условия

Определение: Числовая

функция

заданная

на

действительном

линейном пространстве , называется билинейной, :

формой, если при фиксированном y она

является линейной формой по x, а при фиксированном x – линейной формой по y.

Билинейная форма называется симметрической, если

, ,

Определение: Квадратичной формой от

n неизвестных

, ,…,

называется сумма

вида

f (x1 , x2 ,..., xn )

= ∑∑aij xi x j

(1)

i=1 j=1

то есть

f = a

+ a

x x

+... + a

x x

+ a

x + a

x2 +... +

11 1

12 1

2 1

+ a

+... + a

(2)

n 1

n .

Матрица

, называется матрицей квадратичной формы (1), а ее ранг

– рангом формы (1).,

Если ранг формы равен n, форма называется невырожденной (в этом

1,…,

случае ранг матрицы A равен n и матрица A невырожденная).

Cчитаем, что матрица A квадратичной формы – симметрическая.

Из формулы (2) видно, что квадратичная форма является однородным многочленом 2-й степени от переменных , ,…, Кроме того, квадратичную форму можно считать

функцией от вектора:

∑ , ,

В матричном виде квадратичную форму записать:

f = X T AX .

Так как квадратичная форма f (x1, x2 ,..., xn ) = ∑aij xi x j – это функция от вектора, то ее

i, j

вид зависит от базиса линейного пространства, и при изменении базиса матрица квадратичной формы также изменяется. Закон изменения матрицы дает следующая теорема.

Теорема: Квадратичная форма от n неизвестных с матрицей A после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей Q превращается в квадратичную форму от новых неизвестных с матрицей

A′ = QT AQ.

Определение: Каноническим видом квадратичной формы f называют такой её вид (в

некотором базисе), который представляет собой сумму квадратов неизвестных с некоторыми коэффициентами:

f =b1 y12 +b2 y22 +…+bn yn2.

Теорема: (Основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма с действительными коэффициентами может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием переменных к каноническому виду.

Пример: Квадратичную форму	f (x , x	2	, x	n	)= 4x 2	+ x 2	+ x 2	− 4x x	2	+ 4x x	3	−3x	2	x	3	привести к
	1				1	2	3	1		1

каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования.

Решение. Соберём все слагаемые, содержащие неизвестное x1 , и дополним их до полного квадрата

f (x ,..., x		n	)= 4(x2				− x x	2	+ x x	3	)+ x2		+ x2	−3x		2	x	3	=
1		n				1	1	2	1	3		2	3			2		3
		x	2		x		2
= 4 x	−		2	+	3		− x2		− x2 + 2x			x + x2			+ x2		−3x			x =
= 4 x	−	2		+	2		− x2		− x2 + 2x			x + x2			+ x2		−3x			x =
1		2			2		2		3			2 3		2		3				2 3

						x		2					x		3				2
= 4 x			−					2			+				3					− x				2		x		3
= 4 x			−								+	2								− x						x
1					2							2
																												.
																x	2				x		3				2					x2				x2								x	2	x	3
						x						−					2		+				3					= x2		+		2	+				3	− x x		+ x x		−			2		3
						x						−							+									= x2		+			+					− x x		+ x x		−			2 .) Положим
(Так как										1					2						2								1			4					4	1	2	1	3				2 .) Положим
y = x					−				x2						+	x3				,
y = x					−										+					,
1			1							2					2
	=									2					2
y2	=									x2 ,
	=															x3
y3	=															x3																											(3)
																																											(3)
и от неизвестных y1 , y2 , y3																													форма						f		примет вид					f (y1 , y2 , y3 )= 4 y12 − y2 y3 . Далее полагаем
y	= z ,
1	=		1			z2 − z3 ,
y2	=					z2 − z3 ,
y	=				z		2			+ z				,
3							2					3
и от неизвестных z1, z2 , z3																													форма					f			примет уже канонический вид
f (z , z			2	, z			3			)= 4z							2			− z		2			+ z 2																		(4)
	1		2				3								1						2							2 .															(4)
Разрешим равенства (3) относительно x1 , x2 , x3 :
x = y				+				y2				−			y3			,
x = y				+								−						,
1			1							2					2
										2					2
	=							y2 ,
x2	=							y2 ,
x	=														y .
3															3

Последовательное выполнение линейных преобразований X = Q1Y и Y =Q2 Z , где
		1 1/ 2 −1/ 2																												1 0 0
		0 1																	0									Q2			0 1
Q1 =		0 1																	0									Q2	=		0 1						−1
		0 0																	1												0 1 1
		0 0																	1				,								0 1 1

имеет матрицей

			1					1/ 2 −1/ 2 1			0	−1		1 0		−2
R = Q Q		=			0			1	0	0	1	−1	=		0 1	−1	.
	1 2
					0			0	1	0	1				0 1	1
					0			0	1	0	1	1			0 1	1	.
Линейное				преобразование						неизвестных					X = RZ		приводит квадратичную форму f к
каноническому виду (4). Переменные														x1, x2 , x3		связаны с новыми переменными z1, z2 , z3
соотношениями
x	= z −				2z		,
1	1					3
x2	=	z2 − z3 ,
x	=	z	2	+ z				.
3			2			3

Определение: Нормальным видом квадратичной формы называется сумма квадратов неизвестных с коэффициентами « +1» или « −1 ».

Определение: Квадратичная форма f (x1,..., xn ) называется положительно определённой,

если	f (x1,..., xn ) > 0 при всех	x1,…, xn , за исключением x1 =…=xn = 0. Квадратичная
форма	f (x1,..., xn ) называется отрицательно определённой, если f (x1,..., xn ) < 0 при
всех (x1,…, xn ) ≠ (0,…,0).
Теорема: Квадратичная форма		f (x1 ,..., xn ) является положительно определённой тогда
и только тогда, когда f приводится к нормальному виду, содержащему n квадратов

неизвестных с коэффициентами «+1»:

f ( y ,..., y

) = y2

+... + y2 . Квадратичная форма

f (x1 ,..., xn ) является отрицательно определённой тогда

и только

тогда, когда f

приводится к виду

f ( y ,..., y

) = −y2 −... − y2 .

Определение: Пусть f = X T AX

–

квадратичная форма с матрицей

A =

aij

i, j =1,..., n .

Миноры

= a ,

a11

a12

a11

a12

a13

, …,

a11

...

a1n

называются

...

a21

a22

a31

a32

a33

an1

...

ann

угловыми минорами квадратичной формы

f .

Теорема

(Критерий

Сильвестра):

Квадратичная

форма

f (x1 ,..., xn )

является

положительно определённой тогда и только тогда, когда все её угловые миноры строго

положительны: 1, 2 ,…, n > 0. Квадратичная форма f (x1 ,..., xn ) является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда её угловые миноры

удовлетворяют неравенствам: 1 < 0, 2 > 0,	3 < 0, 4 > 0 и т.д.
Определение: Будем называть линейное	преобразование переменных Y =CX

ортогональным, если матрица C ортогональная, т.е. CT = C−1.

Сформулируем алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием:

1.Находим собственные значения линейного оператора, решая характеристическое уравнение det( A −λE) = 0.

2.Для каждого собственного значения находим собственные векторы, решая систему

линейных уравнений ( A −λE)x = 0. (У этой системы мы должны найти

фундаментальную систему решений).

3.Если собственное значение λ имеет кратность, большую 1 (в характеристическом уравнении), то векторы из ф.с.р. могут оказаться не ортогональными друг другу – в этом случае к ним надо применить процесс ортогонализации.

4.Нормируем найденные собственные векторы, т.е. каждый вектор делим на его длину.

5.Записываем канонический вид квадратичной формы и преобразование координат, приводящее её к этому виду.

Пример: Привести данную квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием координат: f (x1, x2 , xn ) = 3x12 +3x22 +3x32 −2x1x2 −2x1x3 −2x2 x3.

Решение: Составим матрицу этой квадратичной формы:

3		−1	−1
	−1	3
A =			−1 .
	−1	−1	3

Составим характеристическое уравнение:

3 −λ	−1	−1
3 −λ	−1	−1
−1	3 −λ	−1	= 0.
−1	−1	3 −λ

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Линейная Алгебра

#
05.06.2015826 б33fib.m
#
05.06.201574 б33fibb.m
#
05.06.201540.11 Кб32Kucherenko_01.docx
#
05.06.2015749.15 Кб35lab_matrix.pdf
#
05.06.2015632.75 Кб35lab_systems.pdf
#
05.06.2015300.68 Кб35mod4.pdf
#
05.06.2015137.3 Кб33mod4_first.pdf
#
05.06.201531.28 Кб32Modul4_Kolganov (1).docx
#
05.06.2015125.03 Кб33MP_18_iz1.pdf
#
05.06.2015130.45 Кб33MP_18_IZ2.pdf
#
05.06.201577.73 Кб33MP_18_IZ2.txt