---------------------------------------------------------------Упр. 3.7.(конец)
Упражнение 3.8. Правило параллелограмма.
Изобразить правило параллелограмма.
Дан параллелограмм ABCD, известны координаты трех его точек
A(-2 0), B(1 2), C(1 -1).
Найти координаты четвертой вершины D параллелограмма. Показать на рисунке, что AB+ =AC, здесь AB, AD и AC – векторы. Изобразить векторы АВ и AD синим и АС красным,
остальные стороны параллелограмма ВС и CD -черным.
Линейная зависимость векторов |
|
|
|
|
|
|||||
Линейной комбинацией векторов |
, |
,…, |
с коэффициентами |
, ,…, |
будем называть |
|||||
конечную сумму вида |
|
|
|
|
|
|||||
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из ее коэффициентов |
||||||||||
отличен от нуля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
линейная |
|
, ,…, |
называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная |
|||||||
Векторы |
|
|||||||||
|
комбинация из этих векторов, равная нулевому элементу |
: |
|
. |
||||||
Простейшие примеры линейно зависимых векторов. |
|
|
|
|||||||
1. Вектор |
и его противоположный вектор составляют линейно зависимую систему векторов. |
|||||||||
Действительно, |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
||
таким образом, |
1 |
|
и система векторов |
, |
линейно зависима. |
|||||
2.Коллинеарные векторы
3.Компланарные векторы
4.Любые n ( 4) геометрических вектора. 23
Пример. Составим линейную комбинацию из векторов |
|
|
|
, |
|
|
и |
|
5,5,0 |
||
. Задача найти коэффициенты линейной |
комбинации |
|
|
|
|||||||
1,0,0 |
|
0,1,0 |
|
|
|
||||||
Очевидно, что решением здесь будут коэффициенты |
5, |
|
5и |
1 |
. |
|
|
|
|||
Определение |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Система векторов называется линейно независимой, если из равенства |
|
|
|
|
|||||||
следует, что все коэффициенты равны нулю (то есть существует только тривиальное |
|||||||||||
решение). |
|
|
|
1,0,0 , |
|
0,1,0 и |
0,0,1 |
||||
Пример. Составим линейную. |
комбинацию из векторов |
|
|
||||||||
Здесь существует, только тривиальное решение. Эта линейная комбинация может равняться |
|||||||||||
нулевому элементу, только если все коэффициенты равны нулю одновременно. |
|
|
|
|
|||||||
|
r r |
плоскости составляют базис |
векторов |
плоскости. Это |
|||||||
Два неколлинеарных вектора a,b |
|||||||||||
означает, что каждый вектор v этой плоскости однозначно разлагается по векторам |
r |
r r |
r |
||||||||
a,b : v |
= xa + yb, |
||||||||||
Некомпланарные векторы |
r r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, b, c образуют базис векторов трехмерного пространства и любой |
|||||||||||
вектор vr пространства может быть единственным образом представлен в виде |
|
|
|
|
|||||||
|
|
vr = xar+ y b + z cr, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение 3.9. |
2,0 |
|
0,1,1 |
|
1,2,2 |
|
Изобразить эти1, |
, |
и |
образуют базис (доказать). |
|||
Векторы |
|
|
|
векторы (в виде прямых) с помощью функций line, учитывая, что теперь в этой функции три координатных аргумента:аргументы точек абсцисс, ординат и аппликат. (LineWidth не указывать.)
Изобразить орты , , черным цветом, толщиной ‘LineWidth’, 4 Изобразить орты векторов , , толщиной ‘LineWidth’,4
Для трехмерной графики полезно сразу ввести команды
>>grid on,
>>xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
>>axis square
>>box on
Как только появится графическое окно “Figure 1”, с помощью стрелочки “Rotate3D” (c панели инструментов), разворачиваем плоскую картинку в объемную
Упражнение 3.10. |
|
|
|
|
Проверить, что векторы |
|
не компланарны и, если это так, разложить вектор по трем |
||
некомпланарным векторам |
(при решении системы использовать формулы Крамера), |
|||
изобразить некомпланарные векторы |
и вектор |
|
||
A) |
, |
и |
, |
, |
B) |
, |
и |
, |
|
C) |
, |
и |
, |
. |
24 |
|
|
|
|
Скалярное произведение векторов
Определение 1. Скалярным произведением векторов a и b называется число
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a,b)= |
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
(2.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos a , b . |
||||||||
Заметим, что в формуле (2.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
|
|
|
= Прab |
и |
|
a |
|
|
= Прba , |
|
|
|
||||||
|
cos a , b |
|
cos a , b |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поэтому можно дать определение скалярного произведения a и b в иной, равносильной форме, иногда более удобной.
′ |
. Скалярным произведением векторов a и b называется число |
|
||||||||
Определение 1 |
|
|||||||||
|
(a,b)= |
|
a |
|
Прab = |
|
b |
|
Прba . |
(2.2) |
|
|
|
|
|
||||||
Геометрические свойства скалярного произведения даются теоремами 1 и 2.
Теорема 1. Два вектора a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
|
|
|
является острым тогда и |
Теорема 2. Для любых двух векторов a и b , если a ≠ θ, b ≠ θ , угол a , |
b |
||
|
|
|
|
только тогда, когда (a,b) > 0 , и тупым – тогда и только тогда, когда (a,b) < 0 .
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1.(a,b)= (b,a);
2.(a +b,c)= (a,c)+(b,c);
3.(αa,b)= α(a,b);
4. (a,a) > 0 , если a ≠ θ; (a,a) = 0 , если a = θ.
Алгебраические свойства дают возможность, перемножая линейные комбинации векторов, группировать коэффициенты, как при перемножении многочленов.
Замечание 1. Свойства 2 и 3 справедливы также в форме:
2′) (a,b +c)= (a,b)+(a,c);
3′ ) (a, αb)= α(a,b).
Пример. Пусть i , j , k |
– декартов базис, a ={3, 4, 0}, b ={2, −1,1} . Найти (a,b). |
|||
Имеем |
|
|
|
|
(a,b)= (3i +4j, 2i − j +k ) = (3i, 2i − j +k )+(4j, 2i − j +k ) |
= |
|||
|
св-во 2 |
|
замечание 1 |
|
= (3i, 2i)+(3i, −j)+(3i,k )+(4j, 2i)+(4j, −j)+(4j,k ) |
|
= |
|
|
= 6(i,i)−3(i, j)+3(i,k )+8(j, i)−4(j, j)+4(j,k ) |
св-во 3 и замечание 1 |
|||
= |
6 −4 = 2 . |
|||
|
теор. 1 и (2.1) |
|
|
|
Скалярное произведение в координатной форме |
|
|
|
|
Теорема 3. Пусть |
i , j , k – декартов базис, a ={X1,Y1,Z1}, |
b ={X2 ,Y2 ,Z2}. Тогда |
||
(a,b) = X1X2 +Y1Y2 + Z1Z2 . |
|
|
|
|
Доказательство. Имеем |
|
|
|
|
|
(a,b)= (X1i +Y1j +Z1k, X2i +Y2 j +Z2k ) |
= |
|
|
св-во 2, замечание 1
= (X1i, X2i)+(Y1j, X2i)++(Z1k, X2i)+(X1i, Y2 j)+
+(Y1j, Y2 j)+(Z1k, Y2 j)+(X1i, Z2k )+(Y1j, Z2k )+(Z1k, Z2k )=
= X1X2 (i,i)+Y1X2 (j,i)+Z1X2 (k,i)+X1Y2 (i, j)+
св-во 3, замечание 1
+Y1Y2 |
(j, j)+ Z1Y2 |
(k, j)+X1Z2 |
(i,k )+Y1Z2 |
(j,k )+ Z1Z2 |
(k,k ) = |
|
|
|
|
|
теор. 1 |
25
= X X |
(i,i) |
+Y Y |
(j, j)+ Z Z |
(k,k ) |
= X X |
+Y Y +Z Z |
2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
1 2 |
{ |
|
1 2 |
{ |
1 |
2 { |
1 2 |
|
1 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. Пусть i , j , k – декартов базис, a ≠ θ, b ≠ θ , |
a ={X1,Y1,Z1}, |
b ={X2 ,Y2 ,Z2}. Тогда |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X1X2 +Y1Y2 +Z1Z2 |
|
. |
(2.3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos a , b = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
+Y2 |
+Z2 |
X2 |
+Y2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Z2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
В самом деле, из формулы (2.1), определяющей скалярное произведение, находим |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(a,b) |
|
|
X X |
2 |
+Y Y |
+Z Z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos a , b = |
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||
a |
|
|
|
b |
X12 +Y12 +Z12 |
|
X22 +Y22 +Z22 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
теор. 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
исоотношение (2.3) доказано.
Вчастности, a b X1X2 +Y1Y2 + Z1Z2 = 0 .
Скалярное произведение двух векторов a и b заданных в координатной форме в МАТЛАБ мы будем вычислять различными способами:
1.создать формулу,обращаясь индексами к элементам массива
2.вычислить с помощью поэлементного умножения « .*» произведения соответствующих координат, убедиться что вычисления соответствуют ожидаемым, затем применить к результату функцию sum.
3.затем сразу применить обе операции ab=sum(a.*b).
Упражнение 3.11
Вычислить скалярное произведение двух векторов a={x1,y1,z1}, b={x2,y2,z2}
>>syms x1 x2 y1 y2 z1 z2
>>a=[x1,y1,z1];b=[x2,y2,z2];
Далее самостоятельно 1 способ 2 способ 3 способ
Упражение 3.12 |
|
|
|
|
|
1, |
1, 1 |
|
|
2, |
2, 2 |
|
|
Выразить скалярное произведение векторов |
|
, |
|
|
|
||||||||
A) в декартовом базисе |
1,0,0 |
, |
|
0,1,0 |
и |
|
|
|
|
||||
B) косоугольном базисе |
|
, |
|
и |
0,0,1 |
|
. Пользуясь геометрическим |
||||||
|
убедиться, что векторы a,b,c образуют косоугольный базис. |
||||||||||||
свойством скалярного произведения,1, 2,0 |
|
0,1,1 |
|
1,2,2 |
|
|
0,4,0 |
|
0,0,5 |
||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
3,0,0 |
, |
и |
|||
C) в прямоугольном, но не в ортонормированном базисе |
|
|
|
|
|||||||||
A)
>>a=[1,0,0];b=[0,1,0];c=[0,0,1];
>>p=x1*a+y1*b+z1*c;q=x2*a+y2*b+z2*c;
>>pq=sum(p.*q)
pq =
x1*x2+y1*y2+z1*z2
B)
>>a=[1,-2,0];b=[0,1,1];c=[1,2,2];
>>p=x1*a+y1*b+z1*c;q=x2*a+y2*b+z2*c;
>>sum(p.*q)
26