1 семестр / Линейная Алгебра / Модуль 1_Занятие 2_Определители и формулы Крамера
.pdfОглавление |
|
Занятие 2. Определители II и III порядков. Формулы Крамера............................................... |
1 |
Определитель второго порядка................................................................................................ |
1 |
Упражнение 2.1. Вычисление определителей II порядка.................................................. |
1 |
Приложение определителя 2-го порядка к решению систем по........................................... |
2 |
формулам Крамера. ................................................................................................................... |
2 |
Упражнение 2.2 Решение систем по формулам Крамера.................................................. |
3 |
Определитель второго порядка................................................................................................ |
3 |
Упражнение 2.3. Вычисление определителей III порядка..................................................... |
5 |
Упражнение 2.4...................................................................................................................... |
5 |
Приложение определителя 3-го порядка к решению систем по........................................... |
6 |
формулам Крамера. ................................................................................................................... |
6 |
Упражнение 2.5...................................................................................................................... |
6 |
Занятие 2. Определители II и III порядков. Формулы Крамера.
(технический аппарат)
Определитель второго порядка
Определителем второго порядка называется число, соответствующее квадратной матрице второго порядка, равное a11a22 – a21a12. Для обозначения определителя обычно используют прямые скобки (или символ det):
a |
a |
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11 |
12 |
|
|
det A = |
A |
= d = |
11 |
12 |
= a11a22 |
− a21a12 |
|
|
|
|
|
|
|||||
A = a21 |
a22 |
→ |
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение 2.1. Вычисление определителей II порядка
Посмотрите/Вспомните Упражнения 1.4 и 1.5 из Занятия 1. Выполните их, затем перейдите к выполнению данного упражнения.
Введите
>> syms a11 a12 a21 a22
Создадим матрицу 2х2:
>> A=[a11 a12; a21 a22]
1. Мы можем вычислить определитель матрицы A, обращаясь к индексам элементов массива A:
>>detA=A(1,1)*A(2,2)-A(2,1)*A(1,2)
1
detA= a11*a22-a12*a21
2. Мы можем вычислить определитель матрицы A
с помощью стандартной функции det(имя квадратной матрицы), тем самым сделав проверку:
>> detA=det(A)
detA =
a11*a22-a12*a21
И мы получили известную формулу для вычисления определителя.
Упражнение 2.2 Вычислить определители второго порядка.
1 |
4 |
, |
, |
4 |
1 . |
5 |
2 |
|
|
1 |
1)в тетради
2)обращаясь через индексы к элементам массива
3)сделать проверку с помощью стандартной функции det()
Приложение определителя2гопорядкакрешениюсистемпо
формулам Крамера.
2
Возникновение математической конструкции «определитель» связывают с задачей исследования и отыскания: решения системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными
a |
x |
+ |
a |
x |
2 |
=b , |
11 |
1 |
|
12 |
|
1 |
|
a21x1 + a22x2 =b2 , |
где коэффициенты a11, |
a21, a12, a22 при неизвестных x1, x2 и свободные члены b1, b2 |
|||||||||||||||||
системы уравнений считаются заданными. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Если ввести обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
A |
|
= d = |
|
a11 a12 |
|
|
d1 = |
|
b1 |
a12 |
|
d 2 |
= |
|
a11 b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
a21 a22 |
|
, |
|
|
b2 |
a22 |
|
, |
|
|
a21 b2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если d ≠ 0 , то решение системы может быть записано при помощи
формул Крамера:
x |
= |
d1 |
|
x |
|
= |
d 2 |
|
|
|
|
||||||
1 |
|
d , |
|
2 |
|
d . |
Формулы определяют единственное решение. Если d = 0 , то применение формул Крамера
невозможно, и дальнейшее исследование системы уравнений требует рассмотрения ряда случаев.
Упражнение 2.2 Решение систем по формулам Крамера
Решить системы по формулам Крамера
1. |
3 |
5 |
13 |
2. |
3 |
4 |
6 |
2 |
7 |
81 |
|
3 |
4 |
18 |
Определитель второго порядка
Пусть имеем квадратную матрицу третьего порядка:
3
a |
a |
11 |
12 |
a21 |
a22 |
|
a32 |
A = a31 |
a13 a23 a33 ,
элементами aij , которой могут быть элементы любого числового поля.
Определителем третьего порядка называется число:
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a12 a21 a33 - a11 a23 a32 ,
составленное из элементов матрицы A. Слагаемые суммы называют членами определителя 3-го порядка. Обозначения определителя 3-го порядка аналогичны введенным для определителя 2-го порядка:
a11 a12 a13
det A = A = d = a21 a22 a23
a31 a32 a33
Формула для вычисления определителя третьего порядка по определению:
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
det A = |
|
A |
|
= d = |
a21 |
a22 |
a23 |
= |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
=a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a12 a21 a33 - a11 a23 a32 ,
называется правилом Саррюса.
Для запоминания этого правила нередко используют геометрическую схему составления членов определителя и выбора их знаков.
1) положительные члены определителя составляют по схеме С1:
a11 |
|
|
a12 |
|
a13 |
a22 |
|
|
a23 |
|
a21 |
a33 |
|
a31 |
|
|
a32 |
|
|
|
|
|
|
2) отрицательные члены определителя составляют по схеме С2:
4
|
a13 |
|
|
a12 |
|
a11 |
a22 |
|
|
a21 |
|
|
a23 |
a31 |
|
|
|
a33 |
|
a32 |
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление определителя третьего порядка разложением по первой строке:
(это одно из свойств определителя, но пока мы будем работать с этим свойством, не вникая в его происхождение)
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
a22 |
a23 |
|
|
a21 |
a23 |
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
|
a |
a |
= a |
|
−a |
|
+ a |
|
= |
||||||
|
21 |
22 |
23 |
11 |
|
a |
a |
12 |
|
a |
a |
13 |
|
a |
a |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
32 |
33 |
|
|
31 |
33 |
|
|
31 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=a11(a22a33 −a23a32 )−a12 (a12a33 −a13a32 )+ a13 (a12a23 −a13a22 )=
=a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a12 a21 a33 - a11 a23 a32
Упражнение2.3. ВычислениеопределителейIII порядка
Создать квадратную матрицу |
a1 |
b1 |
c1 |
размером 3х3. |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
B |
b3 |
c3 |
|
Вычислить определитель матрицы a3 |
|
1)по правилу Саррюса, обращаясь через индексы к элементам массива
2)разложить по первой строке, обращаясь через индексы к элементам массива
3)сделать проверку, обращаясь к стандартной функции det()
Упражнение 2.4
Вычислить определители третьего порядка, при необходимости вводя символьные переменные, а также прибегая к упрощениям. Предварительно введите help sin и help cos, узнайте, как пользоваться синусом и косинусом. Упрощайте выражения.
1) по правилу Саррюса, обращаясь к индексам элементов массива
2)разложением по первой строке, обращаясь к индексам элементов массива
3) сделать проверку с помощью стандартной функции det()
5
1 |
2 |
3 |
, |
2. |
3 |
4 |
5 |
, 3. |
, 4. |
sin |
cos |
1 . |
1. 4 |
5 |
6 |
|
|
8 |
7 |
2 |
|
|
sin |
cos |
1 |
7 |
8 |
1 |
|
|
2 |
1 |
8 |
|
|
sin |
cos |
1 |
Приложение определителя3гопорядкакрешениюсистемпо
формулам Крамера.
Пусть имеем систему уравнений с тремя неизвестными:
a11x1 + a12x2 + a13x3 =b1,a21x1 + a22x2 + a23x3 =b2 ,a31x1 + a32x2 + a33x3 =b3,
где коэффициенты aij, i =1,2,3; j =1,2,3 при неизвестных xi , i =1,2,3 и свободные члены bi , i =1,2,3 системы уравнений считаются заданными.
Введем обозначения:
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
b1 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
|
|
a11 |
a12 |
b1 |
d = |
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
d1 = |
|
b2 |
a22 |
a23 |
|
|
d 2 = |
|
a21 |
b2 |
a23 |
|
|
d3 = |
|
a21 |
a22 |
b2 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
, |
|
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
, |
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
, |
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
Если d ≠ 0 , то для записи решения системы можно использовать формулы Крамера:
x |
= |
d1 |
|
x |
|
= |
d 2 |
|
x |
|
= |
d3 |
|
1 |
|
d , |
|
2 |
|
d , |
|
3 |
|
d . |
Формулы определяют единственное решение. Если d = 0 , то применение формул Крамера невозможно, и дальнейшее исследование системы уравнений требует рассмотрения ряда случаев.
Упражнение 2.5
Решить системы по формулам Крамера,
сначала в тетради, затем в MATLAB.
1. |
7 |
2 |
3 |
15 |
, |
2. |
2 |
3 |
5 |
|
5 |
3 |
2 |
15 |
|
|
5 |
16 |
|
|
10 |
11 |
5 |
36 |
|
|
|
10 |
Сделайте отчет по упражнениям 2.1-2.5
6
7