Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Uch_posobie_po_UR_MAT_FIZ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

		x x
FM M					(x3 , t) x,	x3 (x, x x),	(3)
FM M			utt	( , t)d utt	(x3 , t) x,	x3 (x, x x),	(3)
1	2

где – линейная плотность струны. Приравнивая выражения (2) и (3) и переходя к пределу при x 0 , для искомой функции получим уравнение:

F (x, t)

utt

uxx

или

F (x,t),

utt

uxx

где a

В том случае, когда на струну не действуют внешние силы, получается уравнение

свободных колебаний струны:

utt

uxx

или

a 2

t 2

Волновыми эти уравнения называются потому, что они описывают распространение слабых возмущений в упругой среде (т.е. механические колебания с малыми амплитудами),

которые в физике называют волнами. Волновые уравнения возникают также в задачах об электрических колебаниях, в гидродинамике и акустике, в теории упругости, при изучении электромагнитных полей.

2.2Методы решения уравнения колебания струны

2.2.1Метод Даламбера (метод бегущих волн) для бесконечной струны

Рассмотрим свободные колебания бесконечной струны ( x ), т.е. настолько длинной, что влиянием ее концов на процесс колебаний можно пренебречь. Причинами колебаний могут являться начальные отклонения струны от равновесного положения и (или)

сообщенный струне начальный импульс, обуславливающий некоторое начальное распределение скоростей частиц струны. Эти причины описываются начальными условиями.

Требуется найти профиль струны в любой момент времени.

Итак, рассмотрим задачу Коши для уравнения колебания струны:

		2	u2	a 2	2	u2 ,
			u2	a 2		u2 ,
	t			x			(4)
u(x,0) (x),							(4)

ut (x,0) (x),

где (x) – функция, задающая форму струны в начальный момент времени,

точки струны в начальный момент.

Уравнение решается в явном виде с помощью замены переменных (x,

x at,

at,

где

( a),

( a)

t t

Аналогично,

Подставляем в уравнение

(x) – скорость

t) ( , ) :

a t

		u		2	u		u					u		2		u		u
a2		u		2	u		u		a2			u		2		u		u		.
	2			2		2					2				2		2

			2					2					2						2

Отсюда
								2u		0 .
										0 .

Интегрируя это равенство последовательно по каждой переменной, получим:
					u(x, t) f ( ) g( ) .
Вернемся к старым переменным:
u(x, t) f (x at) g(x at) .																				(5)

Функция f (x at) описывает волну, бегущую вправо со скоростью а, а функция

g(x at) описывает волну, бегущую влево.

Функция (5) является общим интегралом уравнения (4). Теперь необходимо удовлетворить начальным условиям:

u(x,0) f (x) g(x) (x),

ut (x,0) af (x) ag (x) (x).

Интегрируя последнее уравнение системы, получим:

где C const. Или

1 x

f (x) g(x) a 0 (s)ds C,

(x) g(x) (x),

1 x

f (x) g(x) a 0 (s)ds C.

Складывая и вычитая уравнения данной системы, находим:

f (x)

(x)

(s)ds

g(x)

(x)

(s)ds

2a 0

Отсюда

f (x at)

(x at)

(s)ds

x at

g(x at)

(x at)

(s)ds

2Ca ,

2Ca .

Подставляем в (5) и получаем решение волнового уравнения (формула Даламбера):

	1		1		1		0	1	x at
u(x,t)		(x at)		(x at)			(s)ds		(s)ds,
	2		2			2a		2a
							x at		0

	1				1		x at
u(x,t)		( (x at) (x at))					(s)ds .		(6)
	2				2a
							x at

2.2.2Фазовая плоскость

Для выявления характера решения волнового уравнения (6) удобно воспользоваться

плоскостью	состояний (x,t) или «фазовой плоскостью» (рис.3).			Прямые x at const и
x at const	называются характеристиками уравнения (6). Функция u f (x at) вдоль
характеристики		x at const	сохраняет постоянное значение,	функция	u f (x at)
постоянна вдоль характеристики x at const .
Рассмотрим некоторую фиксированную точку (x0 , t0 ) и проведем из нее обе
характеристики		x at x0 at0 и x at x0 at0 , которые пересекают ось			ОX в точках
P(x0 at0 ,0)	и Q(x0 at0 ,0) .		MPQ называется характеристическим треугольником точки
					9

(x0 , t0 ) .	Отклонение u(x0 , t0 )			точки струны в момент времени t0 зависит только от значений
начального отклонения в вершинах P и Q треугольника									MPQ и от значений начальной
скорости на стороне PQ:
				u(M )	1	( (P) (Q)) 1			(s)ds .
					2			2a	PQ
									PQ
Начальные данные, заданные вне PQ, не оказывают влияния на значения u(x,t) в
точке M (x0 ,t0 ) . Если начальные условия заданы не на всей бесконечной прямой, а на
отрезке	P1Q1 , то они однозначно				определяют			решение		внутри	характеристического
треугольника, основанием которого является отрезок P1Q1 .
				ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ
		7
		6
		5
	t			x+at=x +at			x-at=x -at
	t				0	0		0	0
					0	0		0	0
	время	4
		3				M(x0,t0)

		2
		1
		0
			P(x0-at0,0)					Q(x0+at0,0)
		-1-2	0		2			4		6	8
						координата x
Рис.3. Характеристический треугольник MPQ фазовой плоскости

Решение можно представить в виде суммы

u(x, t) u1 (x, t) u2 (x, t),

	u (x,t)	1	( (x at) (x at)),
	u (x,t)		( (x at) (x at)),
	1	2
		2
				1	x at
u (x,t) (x at) (x at)				1	(s)ds .
u (x,t) (x at) (x at)				2a	(s)ds .
2				2a
2

x at

	Наглядное представление о характере процесса распространения можно получить с
помощью фазовой плоскости (x,t). Проведем характеристики через точки (a,0) и (b,0) они
разбивают плоскость x , t 0 на шесть областей (рис.4).
		Фазовая плоскость для бесконечной волны
	5
				t
	4.5
	4	-x+at=-l		3		x-at=l
		-x+at=-l				x-at=l
		передний фронт			передний фронт
	3.5	обратной волны			прямой волны
	3		2		5
	2.5
				l/a
	2		x+at=-l		-x-at=l
			x+at=-l		-x-at=l
			задний фронтзадний фронт
	1.5		обратной	волныпрямой		волны
	1.5
	1	1		4		6
	0.5
			-l		l
	0
	-15	-10	-5	0	5	10	15
				x
		Рис. 4. Фазовая плоскость для бесконечной волны (l 5) .
	Рассмотрим два случая:
	Пусть (x) 0, (x) 0		на отрезке [ , ] .
	Если начальная скорость равна нулю,			то отклонение u u1 (x,t)			есть сумма левой и
правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией
1	(x) , равной половине начального отклонения.
2
	Области 1, 6 – колебаний нет,

Область 2: u(x,t) 12 (x at) волна движется влево,

Область 5: u(x,t) 12 (x at) волна движется вправо,

Область 4: u(x,t) 12 ( (x at) (x at)) волны складываются,

Область 3 – колебаний нет, отклонение равно нулю.

Пусть (x) 0, (x) 0 на отрезке [ , ] .
Если начальное отклонение равно нулю,							то	u u2 (x, t)	представляет возмущение
струны, создаваемое начальной скоростью.
Области 1, 6: колебаний и отклонений нет,
			1	x at
Область 2: u(x,t)			1		(s)ds волна бежит влево с изменением формы,
		2a

			1
Область 5: u(x,t)			1		(s)ds волна бежит вправо с изменением формы,
		2a		x at
				x at
			1	x at
Область 4: u(x,t)			1		(s)ds волны складываются,
		2a		x at
				x at
			1
Область 3:		u(x,t)	1		(s)ds const колебаний нет, но струна не возвращается в
			2a

исходное положение (если постоянная не равна нулю).
Примеры
(x) 0, (x) 0 :
		t=0							t=0.5
	1						1
	0.8						0.8
u	0.6					u	0.6
	0.4						0.4
	0.2						0.2
	0						0
	-4	-2	0		2	4	-4	-2	0	2	4
			x						x
		t=1							t=1.5
	1						1
	0.8						0.8
u	0.6					u	0.6
	0.6						0.6
	0.4						0.4
	0.2						0.2
	0						0
	-4	-2	0		2	4	-4	-2	0	2	4
			x						x
Рис. 5. Профили струны для различных моментов времени в случае нулевой
начальной скорости

(x) 0, (x) 0 :

		t=0					t=l/(4*a)
2					2
1					1
u					u
0					0
-1					-1
-4	-2	0	2	4	-4	-2	0	2	4
		x					x
		t=l/(2*a)					t=l/a

2
1
u				u
0
-1
-4	-2	0	2	4
		x
		t=(2*l)/a

2
1
u				u
0
-1
-4	-2	0	2	4
		x

2
1
0
-1
-4	-2	0	2	4
		x
		t=(3*l)/a

2
1
0
-1
-4	-2	0	2	4
		x

Рис. 6. Профили струны для различных моментов времени в случае нулевого начального отклонения

Изменение профиля струны с течением времени, например, для случая

(x) 0, (x) 0 (рис.5) можно продемонстрировать в среде MATLAB:

a=1;

l=1;

dx=.01; x=-4*l:dx:4*l; u=1-abs(x); u(abs(x)>l)=0; u_left=.5*u; u_right=.5*u; for t=0:.25:3

u1=circshift(u_left,[0 -a*t/dx]); u2=circshift(u_right,[0 a*t/dx]); plot(x,u1+u2,'r-','lineWidth',2); xlim([-4*l 4*l]);

ylim([0 2]); grid on xlabel('x'); ylabel('u');

title('Колебание струны');pause(1)

end

2.2.3Метод продолжений для полубесконечной струны

Рассмотрим задачу о распространении волн на полубесконечной прямой, (x≥0).

Следует отметить, что чаще всего имеют дело со следующими способами закрепления струны:

жесткое закрепление

свободное закрепление.

При анализе этих задач нам понадобятся леммы о свойствах решений уравнений колебаний, определенных на бесконечной прямой.

Лемма 1

Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой являются нечетными функциями относительно некоторой точки x0 , то

соответствующее решение в этой точке равно нулю: u(x0 ,t) 0 .

Доказательство леммы 1:

Примем x0 за начало координат, x0 0 . В этом случае условия нечетности начальных

данных запишутся в виде

		(x) ( x),

		(x) ( x).

Функция u(x, t) при x 0, t 0		равна
	1		1	at
u(0,t)	1	( (at) (at))	1	(s)ds 0,
u(0,t)	2	( (at) (at))	2a	(s)ds 0,
	2		2a	at
				at

так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности (x) , а второе равно нулю,

поскольку интеграл от нечетной функции в пределах, симметричных относительно начала координат, всегда равен нулю.

Лемма 2

Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой являются четными функциями относительно некоторой точки x0 , то производная по

x соответствующего решения в этой точке равна нулю: u (x , t) 0 .

x 0

Доказательство леммы 2:

Условие четности начальных данных имеет вид:

		(x) ( x),

		(x) ( x).

	Заметим,	что производная четной функции является функцией нечетной:
		Рассмотрим производную:
(x) ( x).		Рассмотрим производную:
		14

(x,t)

at))

( (x at) (x at)) ,

(

(x at) (x

( (at)

( at)) 0 0 .

ux (0,t)

( (at)

( at))

Так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности (x) , а второе – в силу

четности (x) .

Жесткое закрепление.

Рассмотрим случай, когда струна жестко закреплена в точке

x 0 , т.е. в данной точке

отклонение струны всегда равно 0.

Задача ставится следующим образом: ищем решение системы уравнений

2 a2

(0 x ,

t 0),

u( x,0) (x),

u ( x,0) ( x),

u(0, t) 0.

Рассмотрим функции Φ(x) и Ψ(x) , являющиеся нечетными продолжениями функций

φ(x) и ψ(x), тогда функция

x at

u(x,t)

( (x at) (x at))

(s)ds

x at

определена для всех x 0, t 0 . В силу леммы 1

u(0,t) 0 .

Кроме того, эта функция удовлетворяет при t 0

и x 0 следующим начальным условиям:

u(x,0) (x) (x),

ut (x,0) (x) (x).

Таким образом,

рассматривая полученную функцию u(x,t) только для x 0, t 0 мы

получим функцию, удовлетворяющую всем условиям поставленной задачи.

Свободное закрепление.

Теперь рассмотрим случай, когда при x 0 мы имеем свободный конец. Это значит,

что касательная в точке 0 параллельна оси x:

	2u		2u
	t	2 a2	x	2	(0 x ,	t 0),
	t		x
	u( x,0) (x),
	u( x,0) (x),

ut ( x,0) ( x),
		(0, t) 0.

ux

Делаем четное продолжение функций φ(x) и ψ(x). Получим решение уравнения колебаний в виде функции

	1			1	x at
u(x,t)		( (x at) (x at))			(s)ds ,

2				2a	x at

определенной для всех x 0, t 0 . В силу леммы 2
			ux (0, t) 0 .
Кроме того, эта функция удовлетворяет при t 0 и			x 0 следующим начальным условиям:

u(x,0) (x) (x),ut (x,0) (x) (x).

Таким образом, рассматривая полученную функцию u(x,t) только для x 0, t 0 мы

получим функцию, удовлетворяющую всем условиям поставленной задачи

Вывод

Для решения задачи на полуограниченной прямой с граничным условием u(0, t) 0

начальные данные надо продолжить на всю прямую нечетным образом.

										(0, t) 0
Для решения задачи на полуограниченной прямой с граничным условием ux										(0, t) 0
начальные данные надо продолжить на всю прямую четным образом.
2.2.4	Метод продолжения для конечной струны (начальная и конечная
точки жёстко закреплены)
Рассмотрим краевую задачу для ограниченного отрезка (0,l). Будем искать решение
уравнения
			2u	a2	2u	, 0 x l ,
			t2	a2	x2	, 0 x l ,
			t2		x2
удовлетворяющее граничным условиям
				u(0,t) u(l,t) 0
и начальным условиям
				u( x,0) ( x),
						( x).
				ut ( x,0)		( x).
Будем искать решение задачи методом продолжения, предполагая возможность
следующего представления:
		1						1	x at
	u(x,t)	1	( (x at) (x at))					1	(s)ds ,
	u(x,t)		( (x at) (x at))						(s)ds ,
	2							2a	x at
									x at
где Φ(x) и Ψ(x) - функции, подлежащие определению. Начальные условия
	u(x,0) (x) (x),						0 x l
							0 x l
	ut (x,0)			(x) (x),

определяют значения Φ(x) и Ψ(x) в интервале (0,l).

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.09.2019107.52 Кб12test1.doc
#
05.06.20151.22 Mб103Testy_k_ekzamenu.doc
#
16.11.2019458.24 Кб3topograficheskie_znaki (1).doc
#
26.11.201981.41 Кб3Trite metaphors.doc
#
25.11.20195.02 Mб59Uchebno-metodicheskoe_posobie_po_kursu_laborato...doc
#
05.06.20151.46 Mб26Uch_posobie_po_UR_MAT_FIZ.pdf
#
14.11.2019866.3 Кб2UMK_strakhovanie_080102_080105_080109__Stepan.doc
#
05.06.201512.36 Кб12Unit 22.docx
#
05.06.20151.27 Mб8Untitled_1 (1).pdf
#
05.06.201513.95 Кб318Ustav_vnutrenney_sluzhby.docx
#
05.06.20153.73 Mб43VAMS-LRM-2-3-1.pdf