4. Погрешности значения функции

При вычислении значения функции в точке(считаемприближенным значением точного числа) возникают погрешности – предельная абсолютнаяи предельная относительная. Выразим эти погрешности через погрешности числа(будем полагать, что функциядифференцируема в точке).

Так как функция дифференцируема в точке, то

, (4.1)

где мало при малом(иными словами, слагаемымв формуле (4.1) можно пренебречь, еслимало).

Учитывая равенство (4.1), истинная абсолютная погрешность будет оцениваться неравенством (приближенным)

,

откуда по определению предельной абсолютной погрешности

. (4.2)

Итак, предельная абсолютная погрешность значения функции в точке (– приближенное число) равна произведению модуля производной этой функции в точкена предельную абсолютную погрешность числа.

Соответственно предельная относительная погрешность вычисляется следующим образом

=. (4.3)

Найдем с помощью формул (4.2), (4.3) погрешности значений основных элементарных функций.

Пусть (– действительное число). Тогда

, .

В частности при :.

Пусть . Тогда

, .

Пусть . Тогда

, .

В частности, если , то.

Аналогично определяются погрешности значений других основных элементарных функций (см. таблицу 4.1).

Таблица 4.1.

№
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Пример 4.1. Дана функция . Протабулировать ее на отрезке(считать), разбив его наравных частей (все расчеты проводить с 4 знаками после запятой). Вычислить предельные абсолютные, относительные погрешности значений функции в узлах табулирования.

Решение: Протабулировать функцию на отрезкес постоянным шагомозначает составить таблицу значений,(точкиназываются узлами табулирования), где

. (4.4)

В нашем случае ,,; узлы определяются следующим образом:

. (4.5)

Вычислим значения функции в узлах табулирования (4.5):

.

Имеем ,;

, 3,3261,

,

и так далее.

Все вычисления значения функции в узлах табулирования заполняем в таблицу 4.2.

Учитывая формулы (4.2), (4.3), находим погрешности в узлах (4.5) (при этом число можно считать точным, а тогда; в остальных же узлах (4.5),00005)

, .

Таблица 4.2.

i
0	0	0	1	3	0	0
1	0,6284	0,7927	0,5334	3,3261	4,8678	1,46
2	1,2568	1,2111	0,2846	3,4057	8,0695	2,37
3	1,8852	1,3730	0,1518	3,5248	1,0618	0,3
4	2,5136	1,5854	0,0809	3,6663	1,1724	0,32
5	3,1420	1,7726	0,0432	3,8158	1,1944	0,31

3. Полиномиальные интерполяции

Весьма редко удается решить задачу прямыми аналитическими методами, тем более реализовать решение в виде вычислительного алгоритма. Основными требованиями к алгоритму являются:

- изменяемость в зависимости от начальных (исходных) условий, т.е. путь решения должен быть по возможности универсальным;

- схематизированность (однозначно должна быть определена последовательность действий),

- рекурсированность – рекурсированный алгоритм состоит из небольших частей, которые неоднократно реализуются для различных наборов значений;

- решение, реализуемое алгоритмом должно быть конечным, т.е. должно приводить к конечному результату за конечное число шагов. Другими словами, не должно существовать различного рода расходимостей (например, часто встречаются т.н. логарифмические расходимости вида , разрывы первого и второго родов, скачки значений производных и т.д.), которые могут оказать существенное влияние на конечный результат. Поэтому реализации алгоритма непосредственно на ЭВМ должен предшествовать тщательный анализ задачи с целью выявления различных особенностей в поведении исследуемого процесса.

Последнее требование представляется авторам наиболее важным с точки зрения достоверности получаемых результатов вычисления.

Часто при обработке статистических данных возникает задача замены аналитического описания некоторого реального процесса на другое, более удобное с точки зрения дальнейших математических преобразований. Т.е. мы заменяем некоторую функцию f(x) (известную, неизвестную, частично известную), другой ψ(x), полученной в результате некоторых преобразований. В зависимости от цели исследования выбирается метод интерполяции¹ или экстраполяции - процесс построения приближенного или аппроксимирующего многочлена соответственно внутри и вне промежутка исследования. Так как методики интерполяции и экстраполяции практически не отличаются друг от друга, то в дальнейшем будем ограничиваться примерами интерполяции. В связи с этим вышеупомянутую процедуру должен предварять анализ исходной зависимости f(x), а именно:

1. Способ и интервал задания функции (аналитический или табличный);

2. Оценка степени гладкости функции, имеется ли возможность определения производных;

3. Требования к интерполирующей функции ψ(x) (определение ее класса);

4. Определение критерия качества интерполяции, иначе говоря, задание способа оценки погрешности интерполяции. Необходимо в первую очередь определить источники погрешностей. Чаще всего наиболее существенное влияние оказывают следующие:

— погрешность исходных данных;

— погрешность метода;

— погрешность округления;

Погрешность исходных данных, как правило, легче всего поддается оценке и соответствующей корректировке. Более того, часто удается получить точную аналитическую формулу ошибок, исходя из выводов теории вероятностей и математической статистики.

Так как вычислительный алгоритм является рекурсивным, состоящим из целого ряда операций, то происходит т.н. накопление погрешностей: погрешности результата каждого шага оказываются исходными для следующей операции, поэтому точный анализ погрешностей оказывается трудновыполнимым и приходится ограничиваться доверительными оценками.

Сформулируем основные положения.

Первое. Будем рассматривать как таблично, так и аналитически заданные функции.

Второе. В основном будем использовать полиномиальную или кусочно-полиномиальную интерполяцию, т.е. рассматривать в качестве аппроксимирующих функций ψ(x) только многочлены. Данная форма ψ(x) выглядит в большинстве случаев более предпочтительной с точки зрения упрощения дальнейших математических действий (дифференцирования, интегрирования). Другие виды приближений (тригонометрическое, экспоненциальное и пр.) будут применены в следующих разделах.

Третье. Построение аппроксимирующего многочлена и оценку погрешности будем производить с помощью функционалов

(1)

(2)

соответственно для непрерывных и дискретных функций. Оценка погрешности (степени близости функций f(x) и ψ(x)) по формулам (1) и (2) смысл среднеквадратичной погрешности.

Будем называть вычислительный метод устойчивым, если для любого существует такое, что максимальная погрешность результата вычислений меньшепри максимальной погрешности исходных данных меньше.