
- •А. Б. Дюбуа, с. Н. Машнина, с. А. Нелюхин
- •Введение
- •Элементы теории погрешностей
- •Абсолютная, относительная погрешности
- •Значащие, верные цифры. Округление чисел
- •Погрешности результата арифметических операций
- •Погрешности значения функции
- •Полиномиальные интерполяции
- •Форма Лагранжа
- •Конечноразностные формулы
- •Диагональная таблица разностей
- •Первый интерполяционный многочлен Ньютона
- •Второй интерполяционный многочлен Ньютона
- •Центральные интерполяционные формулы
- •Выводы и примеры на интерполирование
- •Обратное интерполирование
- •Интерполяцияс кратными узлами. Полиномы Эрмита
- •Сплайн – интерполяция
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Литература
Значащие, верные цифры. Округление чисел
Всякое
действительное число
(десятичной системы счисления) можно
записать в виде конечной или бесконечной
десятичной дроби (в так называемой
позиционной записи)
, (2.1)
где
– десятичные цифры
(),
причем
;
«
»
– номер разряда, в котором стоит цифра
;
разряд
«»
называется старшим разрядом числа
,
разряд «
»
– младшим разрядом (если дробь конечная)
числа
.
Единицей
«»-го
разряда (разряда номера «
»)
называется число
.
Учитывая это, число
можно записать в виде позиционного
разложения
(2.2)
Пример
2.1. Число
записать в виде позиционного разложения.
Решение: Имеем
.
В
таком разложении каждая цифра числа
является множителем перед некоторой
степенью десятки: цифра 4 стоит в разряде
сотен (старший разряд «»=«2»).
Следующая цифра 3 стоит в разряде десятков
(разряд «1»), цифра 5 – в разряде единиц
(разряд «0»), цифра 7 – в разряде десятых
(разряд «–1») и так далее. Последняя
цифра 8 стоит в младшем разряде «
»=«–4».
Пример
2.2. Число
записать в виде позиционного разложения.
Решение: Имеем
=
;
старший
разряд «»=«0»,
младшего разряда нет (дробь бесконечная).
Определение
2.1. Первая
слева, отличная от нуля цифра числа
,
и все расположенные справа от нее цифры
(в том числе и нули), называются значащими.
Если в числе есть нули, стоящие до первой ненулевой цифры, то они не являются значащими.
Пример 2.3. В ниже следующих числах подчеркнуты значащие цифры:
,
,
.
Определение
2.2. Значащая
цифра
числа
–верная,
если предельная абсолютная погрешность
этого числа не превосходит половины
единицы «
»-го
разряда (разряда номера «
»),
то есть
. (2.3)
Пример
2.4. Найти
верные цифры в приближенном числе для
точного числа
.
Решение:
Имеем по условию
,
=0,026.
Так как
=0,026
,
то
из неравенства (2.3) следует, что «»=«–1».
А это означает, что верной цифрой будет
являться цифра, имеющая разряд «–1»
(разряд десятых), то есть цифра 3. Верными
также будут цифры 7 и 2 (стоящиелевее
тройки), так как для них выполняется
неравенство (2.3):
для
цифры
,
«s»=«1»
(разряд десятков):
=0,026
(верно),
для
цифры
,
«s»=«0»
(разряд единиц):
=0,026
(верно).
Цифры 5, 6 не будут являться верными. Например, для цифры 5 имеем
,
«s»=«–2»
(разряд сотых):
=0,026
(неверно).
Итак, все значащие цифры, стоящие левее верной цифры, также являются верными. Цифра, стоящая правее какой-то верной цифры, не всегда является верной.
В теории погрешности нельзя, вообще говоря, откидывать значащие нули и тем более нельзя откидывать верные нули.
Принято
считать следующее: если
указано, что все значащие цифры числа
верные, то предельная абсолютная
погрешность
равна половине единицы младшего разряда
«
»
в его позиционной форме записи:
.
(2.4)
Пример
2.5. Известно,
что в числах
,
все цифры верные. Найти для них предельные
абсолютные, относительные погрешности.
Решение:
Так как в числе
все цифры верные, то согласно (2.4)
(последняя цифра 7 имеет младший разряд «
»=«–3»). Соответственно
.
Для числа
младший разряд «
»=«–1», то есть
. Тогда
0,00012=0,012%.
Если
число
записано без погрешностей, то полагают,
что все его значащие цифры верные
(тогда практически задача нахождения
не вызывает труда).
При многих вычислениях получаются результаты с большим числом значащих цифр. Тогда в зависимости от задачи целесообразно некоторые из них отбросить – округлить число. На практике обычно пользуются правилами округления чисел:
О.1) если первая отбрасываемая цифра меньше пяти, то последняя сохраняемая цифра не изменяется;
О.2) если первая отбрасываемая цифра больше или равна пяти и после нее есть ненулевые цифры, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу;
О.3) если первая отбрасываемая цифра равна пяти и после нее нет ненулевых цифр, то последняя сохраняемая цифра не изменяется, если она – четная, и увеличивается на единицу, если она – нечетная (правило четной цифры).
Покажем
применимость сначала правила О.3.
Пусть
.
Округление до сотых (то есть с сохранением
первых двух цифр после запятой) дает
результат
(первая отбрасываемая цифра 5, после нее
стоят три нуля, первая сохраняемая цифра
2 не меняется, так как она четная). Если
,
то округление до десятых дает
.
Пример
2.6. Округлить
число
до каждого разряда.
Решение: Округление числа удобнее оформить следующим образом:
Результат округления |
Правило |
Комментарии к правилу |
до
десятков
|
О.2 |
первая отбрасываемая цифра 6 (больше 5) |
до
единиц
|
О.1 |
первая отбрасываемая цифра 2 (меньше 5) |
до
десятых
|
О.2 |
первая отбрасываемая цифра 5, после нее есть ненулевые цифры |
до
сотых
|
О.1 |
первая отбрасываемая цифра 0 (меньше 5) |
до
тысячных
|
О.1 |
первая отбрасываемая цифра 0 (меньше 5) |
|
О.2 |
первая отбрасываемая цифра 7 (больше 5) |
|
О.2 |
первая отбрасываемая цифра 8 (больше 5) |
|
О.3 |
первая отбрасываемая цифра 5, после нее стоят только нули, первая сохраняемая цифра 8 не меняется, так как она четная |
|
О.1 |
первая отбрасываемая цифра 0 (меньше 5) |
При
округлении приближенного числа
предельная абсолютная погрешность
результата (округленного числа)
складывается из предельной абсолютной
погрешности
исходного числа
и погрешности округления
,
то есть
. (2.5)
Пример
2.7. Округлить
число
(
=0,0036)
до числа
,
оставив в нем только верные цифры. Найти
.
Решение:
1)
Так как
=0,0036
,
то в числе
верными будут цифры 7, 2, 4, 5 (последняя
цифра 7 не является верной):
.
Сначала округляем число
,
сохраняя при этом верные цифры (то есть
до сотых), откидывая последнюю цифру 7:
.
Считаем погрешность округления и общую
погрешность
полученного числа
:
,
.
2)
На этот раз
,
то есть в числе
верными будут первые три цифры:
.
Округляем число
,
сохраняя верные цифры (то есть до
десятых):
.
Снова считаем погрешность округления
и общую погрешность
,
.
3)
Так как
,
то теперь в числе
все цифры верные. Тогда
,
.
Ответ:
,
.