ChM_V_INZhENERNYKh_RASChYoTAKh_chast_1

Множители при коэффициентах в с1 1 с2 xk yk можно рассматривать как базисные функции f1(x) 1, f2 (x) x приближающей кривой f (x) c1 f1 (x) c2 f2 (x) , в общей задаче сглаживания данных.

Формулировка задачи сглаживания точечных данных

Даны точки данных (точки наблюдений):

а соотношения для обычно не равных нулю ( k 0 ) невязок таковы:

81

для определения неизвестных коэффициентов с1, , cm при базисных функциях приближающей зависимости по методу наименьших квадратов.

размещения коэффициентов уравнений наблюдений,

причѐм значения коэффициентов матрицы F разместим в диапазоне ячеек A3:C12, а значения y - в диапазоне D3:D12 (см. таблицу 5.4). В диапазоне E3:E12, которому присвоим имя «x», разместим значения x, а диапазон A1:E2 используем для названий. Поместим в ячейки A3, B3 и C3 соответственно «=1/x», «1» и «=КОРЕНЬ(x)», а затем, «протянув» эти ячейки вниз, заполним весь диапазон F значениями. Выделим диапазон ячеек F2:I3 под коэффициенты нормальной системы уравнений, затем нажмем клавишу F2 и в начальную ячейку (F2) выделенного диапазона введѐм формулу =МУМНОЖ(ТРАНСП(A3:C12);A3:D12). После нажатия клавиш

82

Ctrl+Shift+Enter вычисленные элементы матрицы A=FTF помещаются в диапазон ячеек F2:H4, а вектор b= FTy займѐт диапазон I2:I4.

Решение нормальной системы уравнений Ax=b выполним с по-

мощью разобранной выше функции, определѐнной пользователем xCdGauss. Для этого выделим диапазон ячеек F5:I5, нажмѐм клавишу F2, вставим в начальную ячейку F5 выделенного диапазона функ-

цию, определѐнную пользователем, xCdGauss и укажем для неѐ диа-

пазон F2:I4 ячеек с коэффициентами расширенной матрицы нормальной системы уравнений. Затем, после нажатия клавиш Ctrl+Shift+Enter выполняется решение нормальной системы уравнений, и вычисленные значения неизвестных помещаются по порядку в ячейки диапазона F5:H5, а в ячейку I5 записывается число обусловленности матрицы системы. Напомним, что если оно не слишком велико (см. раздел 2), то решение получено с приемлемой точностью.

Ячейкам F5, G5, H5 с вычисленными коэффициентами c1, c2 , c3 приближающей функции удобно присвоить соответственно имена «с1»,

Таблица. 5.4.

«с2», «с3» (для несовпадениями с названиями ячеек буква «с» должна набиваться в русском регистре).

Для изображения на диаграмме исходных точек данных и графика приближающей зависимости разместим значения аргумента из отрезка его изменения, например, в диапазоне ячеек B14:B23 (см. таб-

83

лицу 5.5) и присвоим ему имя, например, «arg». В нашем случае мы просто скопировали туда значения x, хотя можно было выполнить иное заполнение. В ячейку C14 мы помещаем формулу «=с1/arg+с2+с3*КОРЕНЬ(arg)» для расчѐта значений приближающей функции. Отметим, что с1, с2, с3 - это не ячейки, а набитые в русском регистре имена, присвоенные ячейкам с вычисленными ранее коэффициентами приближающей функции. После «протягивания» этой формулы вниз диапазон C14:C23 заполняется значениями функции. Выделив далее диапазон ячеек B13:C23, вставляется то-

чечная диаграмма, на которой гладкой кривой изображается график приближающей функции. Кликнув правой кнопкой мыши по легенде и выбрав добавление данных, можно добавить к диаграмме исходные точки x, y. Полученная диаграмма с графиком приближающей функции и исходными (экспериментальными) точками данных показана на рис. 5.10.

Вычисления для примера 5.3 в MatLab.

Полагая, что на листе Excel уже подготовлены диапазоны с векторами x, y и arg, произведѐм их пересылку в MatLab, и запустим в MatLab выполнение следующих команд:

fi=inline(ʹ[1.*x, 1./x, 1+x.^0]ʹ) c=fi(x)\y

84

f=fi(arg)*c

После их выполнения перешлѐм из MatLab в Excel вектор f (на место значений f(arg)) и вектор коэффициентов c. График по значениям векторов x, y и arg, f удобно построить на точечной диаграмме.

Замечания о сглаживании данных методом наименьших квадратов

1.В рассмотренном примере 5.3 базисные функции подбирались с учѐтом известных сведений о характере поведения величин, составляющих исходные данные. В случаях, когда подобный выбор базисных функций затруднителен, можно использовать какой-либо «универсальный» класс функций. К таким функциям можно отнести сплайн-функции. Для периодических функций хороший результат может дать использование тригонометрических рядов.

2.В рассматриваемых задачах сглаживания обычно предполагается, что число n точек данных велико (n>m) и их расположение таково, что, в крайнем случае, можно по каким-то m из них провести приближающую функцию (получить хотя бы один набор из m коэффициентов в линейной комбинации базисных функций). В этом случае нормальная система уравнений позволяет получить единственное решение задачи сглаживания. В вырожденных случаях нормальная система не позволяет найти единственное решение задачи – для од-

нозначности решения задачи Fc=y, c=? еѐ обычно дополняют требованием минимальности нормы вектора коэффициентов c .

3.При неудачном выборе базисных функций и данных нормальная система уравнений может оказаться плохо обусловленной. Например, при данных, отличающихся на порядки, полиномиальный базис (5.7) даѐт уравнения, коэффициенты которых отличаются на порядки. В таких случаях надо масштабировать данные либо лучше изначально решать задачу Fc=y, c=? устойчивым вычислительным методом (как это сделано в разделе «Вычисления для примера 5.3 в MatLab»).

5.2 Задание к расчетно-графической работе №5

Задание 1. Определить "вручную" коэффициенты c1 , c2 двух функций fа ( x) , fб ( x) , приближающих по методу наименьших квадратов

85

точки данных (см. таблицу 5.6), ординаты которых выделены жирным шрифтом:

тов;

б) fб ( x) - функция, взятая в рамку (в таблице 5.6 вариантов заданий).

По результатам построить в Excel графики функций и показать на них точки данных. (см. в примере 5.2 «Детали построения в Excel графика функции f(arg)»). Все расчеты привести в отчете по работе.

Задание 2. Выполнить на компьютере аппроксимацию по методу наименьших квадратов функцией (с тремя коэффициенты c1, c2 , c3) всех указанных в таблице 5.6 точек данных. Получить на графике вид этой функции и всех приближаемых точек. В отчете описать программу (алгоритм) действий и привести полученный график.

Варианты заданий

Таблица 5.6

86

Рекомендуемая литература

1.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математи-

ки. – М.: Наука, 1966, – 664 с.: ил.

2.Метьюз Д., Финк К. Численные методы. Использование MATLAB.

– М. -Спб.-К.: «Вильямс», 2001, – 716 с.

3.Кузьменко В.Г. VBA эффективное использование. – М.: БИНОМ, 2009. – 617 с.

4.Калядин В.И., Макаров А.И. Основы работы на персональном

компьютере: Учебное пособие. – М.: МГТУ «МАМИ», 2010. –

85с.: ил.

5.Калядин В.И. Численные методы: решение задач в Excel на VBA. Часть 1: Учебное пособие. - М.: Университет машиностроения, 2013. – 142 с.: ил.

6.Антомони В.И., Архипов В.Н., Любин А.Н., Тихомиров В.Н. ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА VBA В MICROSOFT OFFICE: Сборник лабораторных работ по дисциплине «Информатика» для студентов всех специальностей. – М.: МГТУ «МАМИ», 2011. – 160 с.: ил.

7.Туманова М.Б., Чиркина М.А., Туманов А.А. Применение Excel в решении специализированных задач: Учебное пособие. – М.: МГТУ «МАМИ», 2010. – 73 с.: ил.

8. Дьяконов В.П. MATLAB 7.*/R2006/R2007: Самоучитель. – М.:

ДМК Пресс, 2008. – 768 с.: ил.

88

Приложение А

Описание интегрированной среды пакета MATLAB

При работе с MATLAB в командном режиме действует простейший строчный редактор MS_DOS. Ограничимся указанием команд строчного редактирования, которые представлены в таблице. A.1.

Таблица A.1. Команды строчного редактора MATLAB

Назначение

Перемещение курсора вправо на один символ

Перемещение курсора влево на один символ

Перемещение курсора вправо на одно слово

Перемещение курсора влево на одно слово

Перемещение курсора в начало строки

Перемещение курсора в конец строки

Перелистывание предыдущих команд вверх для подстановки в строку ввода

Перелистывание предыдущих команд вниз для подстановки в строку ввода

Стирание символа справа от курсора

Стирание символа слева от курсора

Стирание до конца строки

Очистка строки ввода

Включение/выключение режима вставки

Перелистывание страниц сессии вверх

PgDn Перелистывание страниц сессии вниз

Следует обратить особое внимание на применение клавиш и . Они используются для подстановки после маркера строки ввода >> ранее введенных строк, например для их исправления, дублирования или дополнения. При этом указанные клавиши обеспечивают перелистывание ранее введенных строк снизу вверх или сверху вниз.

89

Некоторые команды управления окном командного режима:

clс– очищает экран и размещает курсор в левом верхнем углу пустого экрана;

home– возвращает курсор в левый верхний угол окна;

Интерпретирующий язык программирования системы MATLAB создан таким образом, что любые (подчас весьма сложные) вычисления можно выполнять в режиме прямых вычислений, то есть без подготовки программы пользователем. Работа с системой носит диалоговый характер и происходит по правилу «задал вопрос - получил ответ». Пользователь набирает на клавиатуре вычисляемое выражение, редактирует его (если нужно) в командной строке и завершает ввод нажатием клавиши ENTER.

Итак:

­для указания ввода исходных данных используется символ >>;

­данные вводятся с помощью простейшего строчного редактора;

­для блокировки вывода результата вычислений некоторого выражения после него надо установить знак;(точка с запятой).

­если не указана переменная для значения результата вычислений, то MATLAB назначает такую переменную с именем ans;

­знаком присваивания является привычный математикам знак равенства =;

­встроенные функции (например, sin) записываются строчными буквами, и их аргументы указываются в круглых скобках;

­результат вычислений выводится в строках вывода (без знака

>>);

­диалог происходит в стиле «задал вопрос – получил ответ».

Арифметические операторы задают выполнение арифметических операций. В MATLAB практически все операторы предназначены для выполнения операций над матрицами (таблица. A.2).

90