Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ChM_V_INZhENERNYKh_RASChYoTAKh_chast_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

2.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Rem Xt – значение аргумента, при котором вычисляется ' многочлен Лагранжа

Rem Выходные данные:

Rem Yt – Значение интерполяционного многочлена Лагранжа ' в точке Xt

Dim P As Single ' описания переменной для вычисления произведения Dim i As Integer, j As Integer ' описание рабочих переменных

Yt = 0 ' обнуляем переменную в которой вычисляется значение многочлена

For i = 1 To N ' цикл для накапливания N слагаемых

P = 1 ' начальное значение переменной для вычисления очередного сомножителя

For j = 1 To N ' цикл для вычисления сомножителя

If i <> j Then P = P * (Xt - X(j)) / (X(i) - X(j))

Next j ' конец цикла j

Yt = Yt + Y(i) * P ' добавляем к многочлену очередное слагаемое Next i ' конец цикла i

End Sub ' возврат в основную программу

Sub primer2()

Rem пример использования подпрограммы Lagrang

Rem программа для вычисления значений предыдущего примера X(1) = 0: X(2) = 1: X(3) = 3 ' задаем значение координат X Y(1) = 1: Y(2) = 2: Y(3) = 10 ' задаем значение координат Y

Call Lagrang(X, Y, 3, 0.5, y1)

MsgBox "Для Х=0.5 значение полинома равно" & Str(y1)

Call Lagrang(X, Y, 3, 2, y1)

MsgBox " Для Х=2.0 значение полинома равно " & Str(y1)

End Sub

Результат выполнения программы Для Х=0.5 значение полинома равно = 1.25

Для Х=2.0 значение полинома равно = 5

4.6 Приближение функций сплайнами

При наличии (n+1) точек приближаемой функции, степень интерполяционного полинома будет равна n. Это значит, что данный полином может иметь n вещественных корней, а, следовательно, и (n-1) максимумом и минимумов. Это приводит к появлению на полиноме нежелательных осцилляций, тенденция к которым усиливается с ростом степени полинома, т.е. с увеличением числа интерполируемых точек.

Поэтому в инженерных приложениях полиномы степени выше 6- ой практически не используются. В некоторых приложениях используют специальные полиномы, в формулу которых включают дополнительные компоненты подавляющие нежелательные осцилляции.

Другой способ устранения осцилляций – это построение составной кривой, в которой полиномы низкой степени последовательно применяются для интерполяции групп точек. Полученная в результате кусочно-полиномиальная функция будет непрерывной, но в общем случае может иметь разрывы производных в точках соединения последовательных отрезков кривых, как, например, в каждом узле при кусочно-линейной интерполяции. Однако для большинства приложений требуется определенная гладкость получаемых кривых, поэтому такие функции использовать нельзя.

Указанный недостаток кусочно-полиномиальной функции можно преодолеть, если при ее построении учитывать требуемую гладкость в узлах стыковки. Рассмотри последовательность точек (x0 , y0), (x1 , y1 ), … (xn , yn ), c x0< x1 <…< xn . Наша цель – провести через эти точки составную кривую φ(x),имеющую следующие свойства:

на каждом интервале xi-1< x < xi , i=0,1,…,n, функция φ(x) является кубическим полиномом;

φ(x) и ее первые и вторые производные непрерывны в узлах интерполяции.

Полученная гладкая кусочно-кубическая кривая называется кубическим сплайном. Физическим аналогом кубического сплайна являются гибкие рейки, используемые плазовщиками при ручной про-

работке плаза кузова автомобиля, фюзеляжа самолета или корпуса корабля.

Для некоторых приложений требуются еще более гладкие функции, обладающие в узлах непрерывной третьей и четвертой производной в каждом узле. В этих случаях используют сплайны более высокого порядка, например пятой. Простейший сплайн, сплайн первой степени, представляет собой кусочно-линейную функцию рассмотренную выше.

4.7 Задание к расчетно-графической работе №4

На интервале [1;4] рассчитать пять точек для функции своего варианта расчетно-графической работы №1. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа на этом же интервале рассчитать 21 точку. Построить график отклонений многочлена Лагранжа от исходной функции и определить максимальную погрешность интерполяции.

5 РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №5 Приближения по методу наименьших квадратов

5.1Краткие теоретические сведения

Вряде задач коэффициенты, входящие в уравнения, получаются из экспериментальных данных, причѐм по этим данным можно записать m уравнений, и это число m бывает значительно больше числа n неизвестных. В таких случаях не игнорируют избыточные данные, а стараясь учесть всю информацию, заключѐнную в данных, решают так называемые переопределѐнные системы уравнений или, в геометрической трактовке, - задачу сглаживания экспериментальных данных.

5.1.1 Решение переопределённой системы n линейных уравнений с m неизвестными (n > m)

Пример 5.1. Требуется определить (как можно точнее) электрическую проводимость (c) шунта (т.е. резистора с малым сопротивлением), имея в распоряжении амперметр и вольтметр низкого класса

точности. Результаты замеров тока y (в амперах)	Таблица 5.1.
	Таблица 5.1.
через шунт в зависимости от подведѐнного напря-
жения x (в вольтах) отражены в таблице 5.1.	x	1	2	3
жения x (в вольтах) отражены в таблице 5.1.	y	1	1	2
	y	1	1	2
Подставляя в закон Ома y c x с единствен-
Подставляя в закон Ома y c x с единствен-

ной (т.е. n=1) неизвестной (c) три пары (т.е. m=3) значений (x, y) , по-
лучаем три соотношения для определения вели-
лучаем три соотношения для определения вели-				1 с 1
				1 с 1		1
чины c. Это отражено в системе уравнений на						1		1
чины c. Это отражено в системе уравнений на					2		c 1
				2 с 1	2		c 1
рисунке 5.1	(и в графике на рисунке 5.3).			3 с 2
рисунке 5.1	(и в графике на рисунке 5.3).			3 с 2	3			1

Можно,	перенеся в левую часть вектор y ,
						F c		y
записать уравнения в виде Fc y			, добавив	Рисунок 5.1
				Рисунок 5.1
справа вектор невязок		- его длина может слу-
жить мерой несоответствия закону Ома. Длина вектора
Fc зависит от величины c; стремятся			выбрать такое
c c* , чтобы длина вектора невязок была наименьшей.
Из геометрических соображений (см. рис. 5.2) следует,

что при этом вектор		должен быть перпендикулярен

вектору Fc* ; для иных положений (они на рисунке по-	Рисунок 5.2
вектору Fc* ; для иных положений (они на рисунке по-
74


казаны пунктиром) длина вектора	невязок больше. Условие пер-

пендикулярности (нормальности) векторов F и		Fc y выражает-

ся равенством нулю их скалярного произведения: T или

F Fc y 0

FTFc FTy .

Таким образом, если определить проводимость шунта по первому замеру, то получается c=1/1=1ом-1 (пунктирная

линия на рис. 5.3). А учѐт всех трѐх замеров по


выведенной формуле	даѐт c* FTy FTF
=(1·1+2·1+3·2)/(12+22+32)=9/14 ом-1 (сплошная
линия на рис. 5.3) и более реальный график, от-
ражающий связь напряжения и тока.		Рисунок 5.3.
		Рисунок 5.3.
Решая эту задачу,	можно было напрямую

записать выражение для квадрата длины вектора невязок (это то, что


					21 22 23
стоит под корнем в длине					21 22 23		вектора ):
		3
E(с) 21 22 23 c xk yk						2 (1 c 1)2 (2 c 1)2 (3 c 2)2
		k 1
14 c2 18 c2	6
График функции E(c)				показан на рис. 5.4. В
точке минимума касательная к графику горизон-
тальна,	а	производная				равна	нулю
dE dt 2 14 c 18 0 . Из			этого			условия значение

c* 9 /14 . При этом значении сумма E(c)	Рисунок 5.4
	квадратов

отклонений точек данных от прямой y c x будет наименьшей.

Пример 5.2. Дана переопределѐнная система n ли-

		m	(n m) неизвест-
нейных уравнений Fc y с

ными (см. рис. 5.5). Решить еѐ, т.е. найти такие c1 , c2 , чтобы несоответствие между правой и левой частя-

ми	уравнений было наименьшим (вектор

Fc y невязок имел минимальную длину).

Fc y

1 с1 0 с2 01 с1 1 с2 01 с1 2 с2 1

Рисунок 5.5

Метод решения (метод наименьших квадратов)

Уравнения

уравнениями

наблюдений)

можно

F c y (называемые

записать в виде:

1 0

1 1

c F

Fc y

1 c1

с2

где

означает вектор - j-столбец матри-

цы (т.е. первый индекс « » пробегает все

значения номеров строк). Изобразим на

рис. 5.6 координатную систему, по осям

которой будем откладывать каждую из

трех координат векторов-столбцов.

F 1 c1 F 2

Векторы

при раз-

личных c1, c2

лежат в плоскости , опре-

деляемой

векторами

F 1 , F 2

Вектор

Рисунок 5.6

это вектор,

соединяющий

концы векторов

правила

сложения

векторов

v (вспомним

) длина вектора

наименьшая?

v ). При каком

v (каких c , c

Очевидно, что кратчайшим расстоянием от конца вектора y до плос-

кости будет перпендикуляр, опущенный из этой точки на плос-

кость.	Вектор			* ,	совпадающий с этим перпендикуляром, будет

наименьшим,			и ему соответствует вектор					v* ,	который совпадет с
проекцией вектора						(см. рис. 5.6).				Естественно,
проекцией вектора					y на плоскость	(см. рис. 5.6).				Естественно,
что лежащий в плоскости , вектор
что лежащий в плоскости , вектор						v*	перпендикулярен вектору *
									запишем, приравняв
. Условие перпендикулярности векторов v и									запишем, приравняв
нулю их скалярное произведение (т.к. v								cos( 900 ) 0 ):

vT		(Fc)T (Fc y) (cT FT )(Fc y) cT (FT Fc FT y) 0 .

Изначально вектор , а он должен определяться по точкам дан-

ных, поэтому


FT Fc FT y 0			FT Fc FT y ,

а вектор c* , доставляющий минимум вектору невязок, должен определяться решением нормальной системы уравнений

												A FTF , а
					Ac		b , где					A FTF , а	b FT y .			(5.1)
							1 0
	T		1 1 1								3	3		Ac b
	T
A F		F					1 1					;		3	3 с1	1
			0 1 2				1	2			3	5		3	3 с1	1
							1	2

							0							3	5 с2	2
b FT y			1	1	1		0			1	;			с1 0,166667 с2 0,5
b FT y						0					;
				1											Рисунок 5.7
			0	1	2		1		2						Рисунок 5.7

Числовая запись системы (5.1) и еѐ решения дана на рис. 5.7.

Вычисления в Excel показаны на рис. 5.8. Числовые коэффициенты уравнений наблюдений (см. рис. 5.5) помещены в диапазон ячеек B2:D4. Для получения коэффициентов нормальной системы уравнений следует: выделить диапазон ячеек E2:G3, нажать F2, набить формулу: =МУМНОЖ(ТРАНСП(B2:C4);B2:D4). После нажатия клавиш Ctrl+Shift+Enter вычисленные элементы матрицы A=FTF помещаются в диапазон ячеек E2:F3, а вектор b= FTy займѐт диапазон G2:G3. Решение нормальной системы уравнений выполним обращением к функции xCdGauss, определѐнной пользователем (см. таблицу. 2.1). Вычисленные коэффициенты с1* 1 6, с2* 1 2 занесены в ячейки E4:F4 (см. рис. 5.8), а число обусловленности выведено в ячейку G4.

5.1.2 Сглаживание точечных данных

Систему уравнений наблюдений в решѐнном примере 5.2 удобно трактовать как условия с1 1 с2 xk yk проведения прямой с1 1 с2 x y через точки xk , yk , k 1, , 3, а вычисленные неизвестные с1*, с2 * - как коэффициенты в уравнении прямой. В общем случае прямую не удастся провести через три (и более) точки, но требование

минимальности длины (или, что равносильно, квадрата длины) вектора невязок обеспечит прохождение прямой вблизи заданных точек. Такие точки часто получаются в результате замеров в экспериментах и являются приближѐнными (содержат случайные погрешности). Поэтому рассматриваемая процедура приближения (аппроксимации) осуществляет сглаживание этих экспериментальных данных.

Можно изобразить результаты, полученные в предыдущем разделе, на точечной диаграмме (рис. 5.8), рассчитать точки на найденной прямой, добавить их к точечной диаграмме и соединить отрезками.

Рисунок 5.8.

Детали построения в Excel графика функции f(arg).

На отрезке [0;2] изменения аргумента (arg) рассчитаем несколько значений и, выделив занятый ими диапазон (B6:B10), присвоим ему имя «arg» (командами Формулы – Присвоить имя). Присвоим также соответственно имена «с1» и «с2» (с русскими буквами «с») ячейкам с вычисленными коэффициентами. В ячейку C6 запишем формулу «=c1+c2*arg» и, «протянув эту формулу» до ячейки C10, получим значения функции для построения графика. Выделим диапазон

B6:C10 и выполним команды Вставка-(диаграммы) Точечная - с

прямыми отрезками. Добавим к диаграмме «точки данных» (x и y) из диапазонов A2:A4 и D2:D4. Затем, выделив легенду «Точки дан-

ных» и вызвав (нажатием правой клавиши мыши) контекстное меню,

изменим тип диаграммы для ряда на точечная с маркерами.

Диаграмма даѐт картинку (см. на рис. 5.8), где прямая линия сглаживает точки, полученные в результате эксперимента и содержащие случайные погрешности замеров. При этом сумма S квадратов отклонений точек данных от сглаживающей их линии будет минимальной, а всякое смещение этой линии от точек будет приводить к увеличению этой суммы. Рассмотрим это подробнее.

Сумма квадратов отклонений каждой из n точек данных от сгла-

живающей их линии

f x

равна:

) y

2 ...

2 . .

S c

f (x

k 1

(Fc y)

(Fc y) c

Fc 2cF

y y y

c Ac 2c

y y

cTAc 2cTb

yTy ,

(5.2)

Разность функции

S c

и еѐ значение

S c*

в точке найденного

* T можно преобразовать к выражению (5.3):

решения с* с1*, с2

S(c)

S(c ) c A c

b y y (c

A c 2c b

y y)

0 ,

F(c c* ) T F (c c*) uT u u2

(5.3)

где u

F (c

c* ) . Последние выражения показывает, что эта разность

совпадает с век-

неотрицательна и равна нулю только, когда вектор c

тором

решения

c* .

Рассматриваемая

разность

представляет

собой

квадратичную форму (при невырожденной матрице A) с точкой ми-

нимума c* .

Для нашего конкретного случая сумма квадратов отклонений равна

S с , c	3	1	f (x ) y	k	2 3	1	(c c x ) y	k	2 (c c 0 0)2
1 2	k	1	k	k	k	1	1 2 k	k	1 2

(c1 c2 1 0)2 (c1 c2 2 1)2 3c12 6c1c2 5c22 2c1 4c2 1

(c1 16)2 (c1 c2 13)2 c1 2c2 56 2 16

1 0	c 1 6		2
	c 1 6				1
1 1		1			1	F c c*	2 1 6
1 1						F c c*	2 1 6
		c2 1 2		6
1 2		c2 1 2		6

То есть сумма принимает своѐ минимальное значение 1/6, когда век-


тор коэффициентов c совпадает с вектором решения c* , составляю-
щие которого:	с1* 1 6,	с2* 1 2 . При всех иных значениях коэф-
	положительное первое слагаемое будет увеличивать
фициентов c	положительное первое слагаемое будет увеличивать

сумму квадратов отклонений S .

Выражение S с1, c2 задаѐт Z-координату выпуклого вниз эллиптического параболоида, вертикальная ось которого проходит через его нижнюю точку с координатами с1* 1 6, с2* 1 2, z 1 6 . В этой нижней точке касательные к параболоиду горизонтальны, а частные

производные по с1 и с2 , задающие тангенсы углов наклона соответствующих касательных, равны нулю. Такие равенства представляют необходимое условие экстремума

S	2 3 c 6c		2 0,	S	6c 2 5 c		4 0 ,
		2				2
1				1
c1				c2

и с учѐтом предыдущего анализа позволяют найти координаты точки минимума с1*, с2 * - искомые значения коэффициентов сглаживающей функции (линии) из системы

3c1 3c2 13c1 5c2 2

В общем случае, если взять производную по для скалярного c ), то получаем уравнение

dS
	2 FTF c 2	FTy
dc

c (она берется также как

0 ,

(5.4)

которое равносильно нормальной системе уравнений для определе-

ния вектора c* :

		.	(5.5)
FTF c FTy

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.2015668.65 Кб8bilety.pdf
#
21.09.201953.25 Кб8Bilet_11.doc
#
16.09.2019288.9 Кб2BILET_S_OTVETAMI.docx
#
05.06.2015882.21 Кб10Bunko_E._B._Metod.teoriya_avtom.uprav.pdf
#
06.09.2019245.76 Кб5BWD_spora.doc
#
05.06.20152.73 Mб13ChM_V_INZhENERNYKh_RASChYoTAKh_chast_1.pdf
#
19.09.2019159.23 Кб5CHPIMGOU_docN_2380_(doc).doc
#
16.11.2018137.22 Кб4CHPIMGOU_docN_622_(doc).doc
#
05.06.2015215.55 Кб29cvetochnij-magazin.doc
#
27.03.201677 Кб84didakticheskie_materialy.docx
#
05.06.2015186.19 Кб31Dvigatel_vnutrennego_sgorani1.docx