ChM_V_INZhENERNYKh_RASChYoTAKh_chast_1

го две итерации, а методу простых итераций необходимо было сделать семь итераций.

Рисунок 1.18 - Фрагмент таблицы Exсel для вычисления корня уравнения на отрезке [0,5 ; 1,5] методом касательных

Рисунок 1.19 - Фрагмент таблицы Exсel для вычисления корня уравнения методом Ньютона в интервале [0,5 ; 1,5]

Пример 1.5

Используя встроенную функцию roots пакета MATLAB, найти корни алгебраического уравнения x3-7x+6 = 0. В квадратных скобках задаются коэффициенты многочлена, в порядке убывания степеней х.

f=inline('x^3-7*x+6') figure;

fplot(f,[-3 3]); grid;

x=roots([1 0 -7 6])

Корни уравнения

x = -3.0000

2.0000

1.0000

32

1.5 Задание к расчетно-графической работе №1

Вычислить минимальный положительный корень уравнения f(x)=0 своего варианта, представленного в таблице 1.1. Вычисления выполнить:

­средствами электронной таблицы Excel;

­с использованием макроса на языке VBA;

­средствами пакета MatLab.

Точность вычисления δ= 0.0001. Метод вычисления корня указан в таблице 1.1.

Таблица 1.1 Варианты заданий для РГР №1

33

Продолжение Таблицы 1.1

34

2 РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №2 Решение систем линейных алгебраических уравнений

методом (прямые методы)

2.1 Краткие теоретические сведения

2.1.1 Формулировка задачи

Во многих инженерных и научных расчетах приходится решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

где A - (n n) - матрица коэффициентов,

b - n-компонентный вектор правых частей уравнений (столбец свободных членов),

x - искомый n-компонентный вектор неизвестных, выражающиеся через свои компоненты:

Из курса линейной алгебры известно, что система (2.1) имеет единственное решение (единственный набор значений x1, x2 , , xn , обращающий уравнения в тождества), если определительdet(A) матрицы A не равен нулю. Этот случай иллюстрируется рисунком 2.1 для системы двух линейных уравнений (i)-(ii).

35

вий и при вычислениях без округлений дают точное решение. Итерационные методы будут рассмотрены в разделе 3.

2.1.2 Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса является прямым методом решения систем линейных уравнений. Его идея состоит в том, что исходную систему (2.1) с помощью равносильных преобразований приводят к другой, более простой системе (с верхней треугольной матрицей), для которой несложно вычислить неизвестные. И поскольку преобразования равносильные, то вычисленные неизвестные являются также решением исходной системы. Вырожденность системы обнаруживается (при точных вычислениях) в процессе решения.

Разберѐм метод на примере решения представленной далее системы уравнений (I),(II),(III) с действительными коэффициентами; слева даѐтся запись системы в общем виде.

Прямой ход метода Гаусса

Решение системы начинается с прямого хода, который выполняется по шагам.

На 1-ом (k=1) шаге прямого хода перепишем 1-ое (k-ое) уравнение без изменений. С помощью этого уравнения исключим неизвестное

xk x1 из последующих уравнений. Для этого предварительно вычислим множители li,k l21 и li,k l31 - второй индекс «k» соответствует k-му шагу, а первый индекс «i» указывает на уравнение, к которому относится вычисленный множитель. Затем преобразуем (II)-oe уравнение по схеме: (II) – l2,1 (I) = (IIʹ), т.е. вычтем из (II)-го уравнения

(I)-ое, предварительно умноженное (почленно) на множитель l2,1 . После этого в преобразованном уравнении (II'), коэффициент при x1 оказывается равным нулю, т.к.

a 21x1 l21a11x1 a 21 l21a11 x1 a 21 a 21 a11 a11 x1 0 x1 0 ,

37

Для других коэффициентов и правой части имеем:

На 2-ом (k=2) шаге с помощью второго уравнения (IIʹ) производится

Этим завершается прямой ход метода Гаусса, в результате которого получается система уравнений с верхней треугольной матрицей.

Обратный ход метод Гаусса (обратная подстановка)

Т.е. обратный ход метода Гаусса заключается в том, что найденное из последнего уравнения (IIIʹʹ) неизвестное x3 , подставляется в предыдущее уравнение (IIʹ), что позволяет вычислить x2 . А подстановка найденных значений в (I)-ое уравнение позволяет определить и x1 .

Отметим, что произведение нижней треугольной матрицы L, дополненной единицами по главной диагонали, на полученную верхнюю треугольную матрицу U даѐт исходную матрицу A:

38

ментом в k-ом столбце. Дополненный такой процедурой алгоритм решения системы линейных уравнений называют:

метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.

Важные замечания

1. Если в результате выбора главного элемента по столбцу он всѐ же оказался нулевым, то это означает, что система вырожденная. Раскрыв определитель (абсолютная величина которого при преобразованиях метода Гаусса не меняется) по 1-му столбцу, например, у матрицы следующей системы

убеждаемся, что он равен нулю. При компьютерных вычислениях с погрешностями округления о близости СЛАУ к вырожденной судят

по оценкам безразмерного числа обусловленности cond (A) AA 1

матрицы системы, где A норма матрицы (см. в следующей разделе).

2. Если прямой ход метода Гаусса доведѐн до конца и матрица системы приведена к верхней треугольной, то произведение еѐ диагональных элементов даѐт значение определителя, причѐм, если было произведено нечѐтное число p перестановок строк, то произведение берѐтся с противоположным знаком. Например, для системы (I)-(III):

3. В результате длительных поисков математики всѐ же нашли примеры матриц, для которых машинные решения СЛАУ с выбором главного элемента не по всей матрице, а по ведущему столбцу приводят к неустойчивости решения, однако в вычислительной практике мало используют более трудоѐмкий выбор главных элементов по всей матрице.

40