ChM_V_INZhENERNYKh_RASChYoTAKh_chast_1

нение в (3.4) приобретѐт скалярный вид и сходство в строке (3.3) усилится.

Обобщая длину вектора как меру сразу всех его компонент, записывают норму x вектора в виде:

вектором e , вводят матричную норму C , подчинѐнную соответствующей векторной норме, как

Она характеризует наибольшее растяжение вектора при умножении на C . Для итерационной формулы в (3.4) с учѐтом (4.7) можно записать:

Из (3.8) по аналогии с условием c 1 можно заключить, что

для сходимости метода простых итераций при любом x(0) достаточно, чтобы матричная норма была бы меньше 1, то есть C 1.

Матричные нормы вычисляются по формулам:

Вторая норма матрицы, равная арифметическому корню из наибольшего собственного значения матрицы CTC , трудно вычисляема и для практической оценки сходимости не применяется. По аналогии с методом итераций для одного уравнения можно записать формулу для

51

завершения итераций, гарантирующих абсолютную погрешность при

большую из разностей между компонентами x для итераций (k+1) и (k). По назначенной в расчѐтах величине Delta оценку гарантированной точности полученного решения можно определить по этой же формуле.

Достаточное условие сходимости (его называют диагональным преобладанием) сформулируем для специальной схемы получения итерационной формулы, использованной в численном примере.

Для сходимости метода простых итераций при решении СЛАУ Ax=b при любом начальном приближении x(0) достаточно, чтобы:

или абсолютная величина элемента на главной диагонали для любого столбца матрицы была больше суммы абсолютных величин всех дру-

или абсолютная величина элемента на главной диагонали для любой строки матрицы была больше суммы абсолютных величин всех дру-

Заметим, что это достаточное условие – его выполнение гарантирует сходимость, но если оно не выполнено, то итерации могут как сходиться, так и расходиться. Например, для рассмотренного числового

Необходимые и достаточные условия требуют, чтобы все собственные значения матрицы C были по абсолютной величине меньше 1.

52

3.1.3 Метод Зейделя

Для рассмотренной в разделе 3 системы уравнений (I, II, III) выразим неизвестные, расположенные на главной диагонали,

То есть, применим такую же специальную схему преобразования системы, как и в методе простых итераций, однако, вычисляемые компоненты неизвестных здесь сразу используем в последующих уравнениях – на это указывают номера итераций (k+1) компонент, расположенных правее знаков равенства. В этом и состоит характерное отличие стационарного метода Зейделя, называемого ещѐ методом Зей-

деля-Гаусса.

Таким же образом (как в методе простых итераций) выберем век-

Метод Зейделя во многом похож на метод простых итераций, для обоих методов справедливо сформулированное выше достаточное условие сходимости (для метода Зейделя допустимы не строгие неравенства и хотя бы одно строгое). Структура формулы (см. [1]) для завершения итераций при выполненном достаточном условии подобна

(3.10).

но в качестве можно использовать вместо C величину

53

где формула, указанная слева, относится к преобразованной системе общего вида (3.1), а справа - к специальной схеме преобразования исходной системы.

Однако метод Зейделя и метод простых итераций имеют свои не одинаковые необходимые и достаточные условия сходимости. Поэтому можно привести примеры, для которых один из методов сходится, а другой нет. По условиям сходимости методов можно сказать, что для матриц СЛАУ с диагональным преобладание хорошо сходится метод простых итераций, а для быстрой сходимости метода Зейделя матрица должна быть близка к нижней треугольной. Заметим, что для строго нижней треугольной матрицы метод Зейделя даѐт решение после первой «итерации». Отметим, что нормализация системы (см. в разделах 3.2 и 5) делает еѐ теоретически сходящейся по методу Зейделя.

3.1.4 О применении итерационных методов

Для систем линейных уравнений с плотно заполненной матрицей итерационные методы не имеют преимуществ перед прямыми методами. Модификации прямых методов хорошо работают и с ленточными положительно-определѐнными матрицами (они часто встречаются в технических расчѐтах) – при решении ширина ленты не увеличивается и не занимает дополнительной памяти. Но для систем уравнений с редко заполненными матрицами больших размеров прямые методы, которые в процессе решения заполняют числами прежде «нулевые» элементы матрицы, требуют огромные объѐмы памяти. А вот итерационные методы не изменяют коэффициенты в матрице системы в процессе вычислений. Более того, для многих СЛАУ, встречающихся в приложениях, коэффициенты в уравнениях составляют небольшие наборы чисел, например, числа: 4; 2;-1, которые вообще не нужно хранить в матрице – они просто записываются в операторах расчѐтной программы. Если коэффициенты легко вычисля-

54

ются, то также можно обойтись без матрицы. Для таких СЛАУ итерационные методы весьма эффективны. Заметим, что при хорошей сходимости (о чѐм в итерационных методах приходится особо заботиться) требуется мало итераций для получения результата с небольшой инженерной точностью – это сокращает время решения задачи.

Отметим, что в пакетах для математических расчѐтов нет универсальной подпрограммы для эффективного решения СЛАУ итерационными методами. Отдельные программы тесно связаны со спецификой своих задач и успешно решают только их. Поэтому обычно программируют итерационное решение СЛАУ, ориентируясь на особенности структуры матрицы коэффициентов своей конкретной системы.

3.2 Задание к расчетно-графической работе №3

Задание 1. Решить СЛАУ из раздела 2.3.2 методом Зейделя; для этого:

a.Проверить и, при необходимости, обеспечить сходимость мето-

да. (Для обеспечения сходимости возможно потребуется преобразовать Ax b Hx f систему: Ax b к сходящейся Hx f . см. далее «Способы приведения исходной СЛАУ…»).

b. Вычислить вектор начального приближения для системы H x f ,

из i -го уравнения (для всех уравнений). Затем, используя вектор начального приближения x0 , выполнить по методу Зейделя необходимое число итераций для получения совпадения 2-ой после запятой значащей цифры во всех компонентах вектора решения.

Представить в отчѐте СЛАУ Ax b; Hx f с пояснением выполненного преобразования, программу расчета и результаты двух первых ( x(0) , x(1) ) и последнего приближений.

55

Способы приведения исходной СЛАУ к сходящейся (по методу Зейделя) (Способ 1) Получение диагонального преобладания: Сходящиеся системы

перестановкой строк

57

Поверим необходимое о достаточное условие для системы H x f

вать сходящийся процесс, задаваемый итерационной формулой (см. пункт c.).

Для вычисления приближений по методу Зейделя используем макрос:

Sub Пример_4_1()

k = 0: x1 = 1 / 2: x2 = 2 / 3: x3 = 9 / 3

Cells(k + 2, 1) = k: Cells(k + 2, 2) = x1: Cells(k + 2, 3) = x2: Cells(k + 2, 4) = x3

Do

w = (1 - 1 * x2 - 1 * x3) / 2: Delta = Abs(w - x1): x1 = w

w = (2 - 4 * x1) / 3: v = Abs(w - x2): Delta = IIf(v > Delta, v, Delta): x2 = w w= (9+2 * x1 - 2 * x2) /3: v = Abs(w - x3): Delta = IIf(V > Delta, v, Delta): x3= w k = k + 1

Cells(k + 2, 1) = k: Cells(k + 2, 2) = x1: Cells(k + 2, 3) = x2: Cells(k + 2, 4) = x3 Loop While Abs(Delta) > 0.001

End Sub

Результаты решения представлены в таблице 3.2.

58

3.2.2 Пример выполнения задания 2

Sub Пример_3_2() ʹ См. рисунок 3.1, n=9 Dim x(1 To 10) As Double, y(1 To 10) As Double Dim b(1 To 10) As Double, S As Double

n=9: For i = 1 To 10: b(i) = 5: x(i) = b(i) / n: Next i

b(1) = n: b(10) = n: x(1) = 1: x(10) = 1 k = 0: Cells(k + 2, 1) = k

For i = 1 To 10: Cells(k + 2, i + 1) = x(i): Next i Do: k = k + 1

For i = 1 To 10 S = b(i):

j = i + 3: If j < 11 Then S = S - 3 * x(j)

j = i - 3: If 0 < j Then S = S - IIf(i Mod 2, 4, 2) * x(j) j = i - 4: If 0 < j Then S = S - 1 * x(j)

y(i) = S / n

Next i

Cells(k + 2, i) = k: Delta = 0: For i = 1 To 10:

S = Abs(y(i) - x(i)): If S > Delta Then Delta = S x(i) = y(i): Cells(k + 2, i + 1) = x(i)

Next i

Loop While Delta > 0.0001

End Sub

59

Вектор решения, вычисленный по программе, приведѐн в таблице 3.3.

Таблица 3.3

3.2.3 Варианты задания 1

см. в разделе 2.3.2

3.2.4 Варианты задания 2

60