§ 9.8. Некоторые классические неравенства для интегралов 59
В силу непрерывности функции ( ) найд¨ется точка такая, что = ( ). Поэтому равенство (9.7.11) доказывает (9.7.8).
Пусть теперь функция ( ) может принимать значения разных знаков.
Функция ( ) − ( ) убывает и неотрицательна. Значит, по уже доказанному существует такая точка [ , ], что
∫ ∫
( ( ) − ( )) ( ) = ( ( ) − ( )) ( ) .
Следовательно,
∫
( ) ( ) =
∫ ∫ ∫
= ( ) ( ) + ( ) ( ) − ( ) ( ) =
∫ ∫
= ( ) ( ) + ( ) ( ) ,
а это и есть равенство (9.7.7). Теорема доказана.
Понятно, что утверждение, аналогичное теореме 9.7.3, имеет место и для монотонно возрастающих функций ( ).
Отметим, что несмотря на условность названий “первая теорема о среднем”, “вторая теорема о среднем” эти названия устоялись и их можно считать общепринятыми. Вторую теорему о среднем называют также теоремой Бонне.
§ 9.8. Некоторые классические неравенства для интегралов
Установим интегральные аналоги неравенств из § 6.8.
Теорема 9.8.1 (Неравенство Г¨ельдера). Если функции ( )
и ( ) интегрируемы на отрезке [ , ], > 1 и – сопряженное
с число, т.е.
1 + 1 = 1,
то справедливо неравенство
∫ |
|
∫ |
|
( ) ( ) 6 |
| ( ) ( )| 6 |
|
|
|
|
|
60 |
Гл. 9. Определ¨енный интеграл |
6 |
( ∫ | ( )| )1/ ( ∫ | ( )| )1/ , (9.8.1) |
которое называют неравенством Г¨ельдера для интегралов.
Доказательство. Интегралы из неравенств (9.8.1) существуют согласно теореме 9.4.4 и следствию 9.4.2.
Введ¨ем обозначения
‖ ‖ := ( ∫ | ( )| )1/ , |
‖ ‖ := ( ∫ | ( )| )1/ . |
(9.8.2) Эти величины называют нормами функций, но не будем говорить сейчас об этом подробнее.
Будем считать, что величины (9.8.2) отличны от нуля, так как если какая-либо из них равна нулю, то равен нулю и интеграл
∫
| ( ) ( )| .
В самом деле, если ‖ ‖ = 0 и | | 6 , то | ( ) ( )| 6 | ( )| и применяем лемму 9.4.5.
Положим
( ) := |
| ( )| |
, |
( ) := |
| ( )| |
. |
|
‖ ‖ |
|
‖ ‖ |
||
Согласно неравенству Янга (6.8.2) для любых неотрицательных чисел и имеет место оценка
6
Поэтому
( ) ( ) 6
1 |
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ( )| |
+ |
|
| ( )| |
. |
||||||
|
|
|||||||||
‖ ‖ |
|
|
|
|
‖ ‖ |
|||||
Проинтегрируем это неравенство по отрезку [ , ]:
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
∫ |
|
( ) ( ) 6 ‖ ‖ |
| ( )| + ‖ ‖ |
| ( )| = |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
1 |
|
+ |
1 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ 9.8. Некоторые классические неравенства для интегралов 61
Таким образом,
∫ | ( )| | ( )|‖ ‖ ‖ ‖ 6 1.
Отсюда следует (9.8.1). Теорема доказана.
Неравенство (9.8.1) при = 2 было доказано В. Я. Буняковским (1859), оно является интегральным аналогом установленного О. Коши неравенства (6.8.4).
В S 6.8 отмечалось, что и неравенство (6.8.4) и неравенство (9.8.1) при = 2 принято называть неравенствами Коши–Буня- ковского. В иностранной литературе оценку (9.8.1) при = 2 часто называют неравенством Шварца, хотя Г. Шварц доказал е¨ на 25 лет позднее Буняковского.
Теорема 9.8.2 (Неравенство Минковского). Для функций
( ) и ( ), интегрируемых на отрезке [ , ], при > 1 справедливо неравенство
( ∫ | |
( ) + ( )| )1/ |
6 |
|
6 |
( ∫ | ( )| )1/ |
+ ( ∫ | ( )| )1/ , |
(9.8.3) |
которое называют неравенством Минковского или неравенством треугольника.
Доказательство. Существование интегралов в (9.8.3), вытекает из свойств интегрируемых функций. Будем считать, что интеграл в левой части неравенства (9.8.3) не равен нулю, иначе это неравенство очевидно.
Оценим интеграл из левой части (9.8.3) следующим образом:
∫ |
∫ |
| ( ) + ( )| = | ( ) + ( )| · | ( ) + ( )| −1 6
|
|
∫
6| ( )| | ( ) + ( )| −1 +
∫
+| ( )| | ( ) + ( )| −1 . (9.8.4)
62 Гл. 9. Определ¨енный интеграл
Применим к интегралам из правой части оценки (9.8.4) неравенство Г¨ельдера с показателями и = /( −1). Тогда получим
∫ | ( ) + ( )| 6 |
|
|
6 |
( ∫ | ( )| )1/ ( ∫ | ( ) + ( )| )( −1)/ + |
|
|
+ ( ∫ | ( )| )1/ ( ∫ | ( ) + ( )| )( −1)/ = |
|
= [ (∫ | ( )| )1/ + (∫ | ( )| )1/ ] × |
|
|
|
× ( ∫ | ( ) + ( )| )( −1)/ . |
(9.8.5) |
Разделим обе части этого неравенства на
( ∫ )( −1)/
| ( ) + ( )| .
Тогда в левой части (9.8.5) получим интеграл в степени 1/ и, таким образом, неравенство (9.8.3) доказано.
Заметим, что в обозначениях (9.8.2) неравенство (9.8.3) имеет вид
‖ + ‖ 6 ‖ ‖ + ‖ ‖ .
Теорема 9.8.3 (Неравенство Иенсена). Пусть на отрезке
[ , ] функции ( ) и ( ) интегрируемы, 6 ( ) 6 , ( ) > 0,
∫
( ) = 1,
а функция выпукла и непрерывна на отрезке [ , ]. Тогда имеет место неравенство
( ∫ ( ) ( ) ) |
6 |
∫ ( ( )) ( ) , |
(9.8.6) |
которое называют неравенством Иенсена для интегралов.
§ 9.8. Некоторые классические неравенства для интегралов 63
Доказательство. Положим
∫
:= ( ) ( ) .
Тогда 6 6 .
Пусть формула ( ) = ( − ) + ( ) зада¨ет опорную прямую функции ( ) в точке , т.е. = ′( ), если эта производная существует, и – произвольное число, заключ¨енное между
′−( ) и ′+( ) в противном случае. Тогда согласно теореме 6.7.2
′−( ) < ′+( ).
При всех [ , ] имеем ( ) > ( − ) + ( ) и, значит, для [ , ]
( ( )) > ( ( ) − ) + ( ).
Умножим это неравенство на ( ) и проинтегрируем его затем по
∫ ∫ ∫
( ( )) ( ) > ( ( )− ) ( ) + ( ) ( ) = ( ).
Таким образом, неравенство (9.8.6) доказано.
Если функция ( ) вогнута, то знак неравенства в (9.8.6) нужно заменить на противоположный.
Теорема 9.8.4 (Неравенство Чебышева). Если функции ( )
и ( ) на отрезке [ , ] ограничены и возрастают, то справедливо неравенство
∫ ( ) · ∫ ( ) 6 ( − ) ∫ ( ) ( ) , |
(9.8.7) |
называемое неравенством Чебышева для интегралов.
Доказательство. Рассмотрим разбиение отрезка [ , ] наравных частей точками = 0 < 1 < · · · < = . Согласно неравенству Чебышева для сумм (6.8.13) имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
∑ |
|
|
∑ |
|
|
|
|
||
|
|
|
( ) · |
( ) 6 |
|
( ) ( ), |
|
|
|||||
|
|
=1 |
|
=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
( |
) |
· |
( ) |
6 |
( |
− |
) |
( |
) ( ) |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
∑ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
(9.8.8)