5. Вопросы к экзамену.
Комплекснозначная функция комплексного переменного. Предел функции в точке.
Непрерывность функции комплексного переменного в точке и на множестве.
Элементарные функции комплексного переменного.
Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
Аналитическая функция. Гармоническая функция. Восстановление аналитической функции по её вещественной или мнимой части.
Дифференцируемость элементарных функций.
Первообразная и неопределенный интеграл. Теорема о первообразной.
Свойства неопределенного интеграла.
Замена переменной под знаком неопределенного интеграла.
Интегрирование по частям под знаком неопределенного интеграла.
Интегрирование рациональных функций.
Вычисление интеграла
.Интегрирование иррациональных выражений.
Интегрирование дифференциального бинома.
Интегрирование тригонометрических выражений.
Определенный интеграл. Утверждение об интегрируемой по Риману функции. Пример функции неинтегрируемой по Риману.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Ограниченность функции интегрируемой по Риману.
Свойства определенного интеграла.
Классы интегрируемых по Риману функций.
Оценки для определенного интеграла.
Теорема о среднем.
Интеграл с переменным верхним пределом. Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом.
Интеграл с переменным верхним пределом. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.
Теорема Ньютона-Лейбница.
Замена переменной под знаком определенного интеграла.
Интегрирование по частям под знаком определенного интеграла.
Интегрирование четных, нечетных, периодических функций.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы 1-го рода. Признаки сходимости.
Несобственные интегралы 2-го рода. Признаки сходимости.
Интегрирование по комплексному аргументу. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.
Функции многих переменных. Основные определения.
Предел в пространстве
.
Теорема о сходимости последовательности
в
.Предел функции нескольких переменных. Повторные пределы.
Непрерывность функции нескольких переменных.
Частные производные.
Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимое условие дифференцируемости.
Дифференцируемость функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости.
Дифференциал функции нескольких переменных.
Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференцируемость сложной функции.
Инвариантность формы первого дифференциала для функции нескольких переменных.
Производные и дифференциалы функции нескольких переменных высших порядков.
Теорема о равенстве смешанных производных.
Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
Неявная функция. Теорема существования. Дифференцирование неявных функций.
Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие существования экстремум.
Экстремумы функций нескольких переменных. Достаточное условие существования экстремум.
Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод исключения для отыскания условного экстремума.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа для отыскания условного экстремума.
Наименьшее и наибольшее значения функций непрерывной на замкнутой и ограниченной области.