- •Федеральное государственное образовательное учреждение
- •Высшего профессионального образования
- •«Сибирский федеральный университет»
- •Методическое пОсобие по дисциплиНе
- •B c
- •Занятие 2 Базис, координаты векторов
- •Занятие 3 Системы координат на плоскости и в пространстве
- •Занятие 4 Проекции. Скалярное произведение векторов
- •Занятие 5 Векторное и смешанное произведение векторов
- •Занятие 6 Замена декартовой системы координат
- •Модуль II занятие 7 Общее понятие об уравнениях линий и поверхностей
- •Занятие 8 Уравнения прямых на плоскости
- •Занятие 9 Плоскость в пространстве
- •Занятие 10 Прямые в пространстве
- •Модуль III занятие 11 Основные типы нераспадающихся кривых второго порядка на плоскости
- •Занятие 12 Классификация кривых второго порядка на плоскости
- •Занятие 13 Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- •.M(X,y,z)z
- •O y
- •Модуль IV занятие 14 Преобразования плоскости
- •Занятие 15 Афффинные преобразования и классификация поверхностей второго порядка
- •Занятие 16 Элементы вычислительной геометрии. Триангуляция Делоне
- •Занятие 17 Элементы вычислительной геометрии. Диаграмма Вороного
B c
A D
Из рисунка видно, что имеют место соотношения
, , , поэтому
, .
Решая эту систему, получаем, что
, , , .
Задача 2. В треугольнике проведены медианы и . Представить векторы и в виде линейных комбинаций векторов и
Задача 3. Точки и служат серединами сторон и четырехугольника (плоского или пространственного). Доказать, что . Вывести отсюда теорему о средней линии трапеции.
Задача 4. Точки и служат серединами сторон и параллелограмма . Выразить векторы и через векторы и .
Задача 5. На стороне параллелограмма отложен отрезок , а на диагонали - отрезок . Доказать, что векторы и коллинеарны, и найти отношение .
Задача 6. Из точки О выходят два вектора, и . Найти какой-нибудь вектор , идущий по биссектрисе угла .
Занятие 2 Базис, координаты векторов
Основные определения
Выражение вида будем называть линейной комбинацией векторов с коэффициентами . Если все коэффициенты линейной комбинации равны 0, то будем называть ее тривиальной линейной комбинацией.
Система векторов называется линейно зависимой, если существует некоторая нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору, и линейно независимой – в противном случае.
Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы равен линейной комбинации остальных векторов.
Будем говорить, что векторы и коллинеарны, если прямые АВ и CD параллельны.
Назовем векторы ,,…, компланарными, если существует плоскость , которая параллельна одновременно всем прямым А1B1 , А2B2 ,...., АkBk .
Базисом на прямой назовем ненулевой вектор, лежащий на этой прямой. В некоторых случаях базисный вектор прямой будем называть направляющим вектором этой прямой.
Базисом на плоскости назовем упорядоченную пару неколлинеарных векторов.
Базисом в пространстве будем называть упорядоченную тройку некомпланарных векторов.
Если – базис совокупности векторов (пространства, плоскости или прямой) и то числа называются координатами вектора в заданном базисе.
Примечание: Отметим, что в соответствии с определением координаты вектора в пространстве составляют упорядоченную тройку чисел, координатами вектора плоскости является упорядоченная пара чисел и координатой вектора прямой является единственное число.
Задача 7. Доказать утверждения: 1) конечная система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима; 2) конечная система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.
Задача 8. Даны три вектора . Найти координаты векторов , .
Задача 9. Проверить, что векторы и образуют базис на плоскости. Найти координаты векторов и в этом базисе.
Задача 10. Проверить, что векторы , и образуют базис в пространстве. Найти координаты векторов , и в этом базисе.
Задача 11. В параллелограмме точка - середина отрезка и – точка пересечения диагоналей. Принимая за базисные векторы и , найти в этом базисе координаты векторов .
Задача 12. Дан правильный шестиугольник . Принимая за базисные векторы и , найти в этом базисе координаты векторов .
Задача 13. В треугольнике проведена биссектриса . Найти координаты вектора в базисе, образованном векторами и .