52
1.7.3Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям
Интегральные уравнения естественно появляются в рамках основных моделей естествознания.
Пример 1.7.2. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода
|
b |
|
(1.7.5) |
f(x) = (x) + Z |
K(x; y)f(y) dy; |
a
где K(x; y) и (x) – заданные функции, – произвольный параметр, а f(x) – неизвестная. Докажем разрешимость этого уравнения в пространстве C[a; b] для малых значений параметра .
Предположим, что K(x; y) и (x) непрерывны при x; y 2
[a; b]. Тогда найдется M > 0 такое, что jK(x; y)j M. Рассмотрим отображение
b |
|
(Ag)(x) = (x) + Za |
K(x; y)g(y) dy; |
в полном метрическом пространстве C[a; b]. Имеем
(Ag1; Ag2) M j jjb aj (g1; g2):
Следовательно, при j j < 1 , отображение A является сжи-
M(b a)
мающим, а значит, уравнение (1.7.5) имеет единственное решение в метрическом пространстве C[a; b].
Пример 1.7.3. Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра
|
x |
|
(1.7.6) |
f(x) = (x) + Z |
K(x; y)f(y) dy; |
a
53
где K(x; y) и (x) – заданные функции, – произвольный пара-
метр, а f(x) – неизвестная функция. Докажем разрешимость этого
уравнения в пространстве C[a; b] для всех значений параметра .
Предположим, что K(x; y) и (x) непрерывны при x; y 2
[a; b]. Тогда найдется M > 0 такое, что jK(x; y)j M. Рас-
смотрим отображение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
(Ag)(x) = (x) + Za |
K(x; y)g(y) dy |
|
|||||||||||
в полном метрическом пространстве C[a; b]. Имеем |
|
||||||||||||||
|
Ag1(x) |
|
Ag2x) |
|
= |
|
|
|
|
x |
K(x; y)(g1(y) |
|
g2(y)) dy |
|
|
j |
|
|
|
j |
|
j |
|
j |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j jM(x a) (g1; g2):
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ag2(y)) dy |
|
|
|
A2g1(x) |
|
A2g2x) = |
|
|
x |
K(x; y)(Ag1(y) |
|
|
||
j |
|
|
j j |
|
j |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j j2M2 (x a)2 (g1; g2):
2
И, вообще,
|
Ang1(x) |
|
Ang2x) |
= |
|
|
|
x K(x; y)(An 1g1(y) |
|
An 1g2(y)) dy |
|
j |
|
|
j |
j |
|
j |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j jnMn (b a)n (g1; g2): n!
При любом значении число n можно выбрать настолько большим,
что j jnMn (b a)n < 1. Тогда отображение An является сжима-
n!
ющим, а значит, уравнение (1.7.6) имеет единственное решение в
пространстве C[a; b].