Глава 3
Раздел III: Линейные операторы в пространствах Банаха
3.1Лекция 18
3.1.1Линейные операторы: основные определения
В настоящем разделе мы перейдем к изучению линейных операторных уравнений в пространствах Банаха. Поэтому нам придется сначала изучить свойства линейных отображений в этих пространствах.
Определение 3.1.1. Пусть X и Y – линейные пространства над полем R (или C). Отображение A : X ! Y называется линейным оператором, если A(ax + by) = aAx + bAy для всех x; y 2 D(A) и всех a 2 R (или C), где D(A) – это совокупность тех x 2 X, для которых отображение A определено (т.е. область определения оператора). Множество тех y 2 Y , для которых y = Ax при некотором x 2 D(A), называется образом оператора и обозначается R(A).
Вообще говоря, не предполагается, что D(A) = X, однако необходимо, чтобы D(A) было линейным подмногообразием в X. Ясно,
143
144
что всякий линейный функционал является линейным оператором (для Y = R).
Определение 3.1.2. Пусть X и Y – нормированные пространства с нормами k kX и k kY соответственно. Оператор
A : X ! Y называется непрерывным в точке x0 2 D(A), если для всякого " > 0 существует такое > 0, что для всех x 2 D(A), удовлетворяющих kx x0kX < , выполняется неравенство kAx Ax0kY < ". Оператор A назовем непрерывным,
если он непрерывен в каждой точке D(A).
Предложение 3.1.1. Если линейный оператор A непрерывен в какой-либо точке x0 2 X, то он непрерывен всюду на D(A).
Доказательство. Пусть A непрерывен в точке x0 2 X. Тогда для всякого " > 0 существует такое > 0, что для всех x 2 D(A), удовлетворяющих kx x0kX < , выполняется неравенство
kAx Ax0kY = kA(x x0)kY < ";
или, иными словами, для всех y 2 D(A), удовлетворяющих kykX < , выполняется неравенство kAykX < ".
Если y0 – произвольная точка D(A), и kx y0kX < , то мы заключаем, что
kAx Ay0kY = kA(x y0)kY < ": |
|
Предложение доказано. |
|
Оказывается, что очень важное значение для изучения операторных уравнений имеет множество нулей отображения A.
Определение 3.1.3. Ядром оператора A : X ! Y называется
145
подмножество ker A элементов x пространства X таких, что Ax = 0.
Предложение 3.1.2. Пусть A – линейный непрерывный оператор, тогда ker A и R(A) являются линейными многообразиями в Y . Если D(A) = X, то ker A является подпространством пространства X.
Доказательство. В силу линейности оператора,
A(ax + by) = aAx + bAy = 0 + 0 = 0
для всех x; y 2 ker A. Поэтому ker A – линейное многообразие в X.
Если D(A) = X и x = limn!1 xn, то по непрерывности
Ax = limn!1 Axn = 0, т.е. x 2 ker A. Следовательно, ker A
замкнуто.
Наконец, если y1; y2 2 R(A), то ay1 + by2 = A(ax1 + bx2), где Ax1 = y1, Ax2 = y2, т.е. (ay1 + by2) 2 R(A). Образ линейного непрерывного оператора, в отличие от ядра,
вообще говоря, не замкнут (примеры мы приведем позднее).
Пример 3.1.1. Пусть X = Y. Положим Ix = x для всех x 2
X. Такой оператор называется единичным; D(A) = X, ker A = 0,
R(A) = Y . Очевидно, он непрерывный.
Пример 3.1.2. Положим Ox = 0 2 Y для всех x 2 X. Такой оператор называется нулевым; D(A) = X, ker A = X,
R(A) = f0g. Очевидно, он непрерывный.
Определение 3.1.4. Оператор A называется ограниченным,
146
если он определен на всем пространстве X и переводит каждое ограниченное множество в ограниченное.
Предложение 3.1.3. Линейный оператор A в нормированном пространстве является ограниченным в том и только том случае, когда существует такая постоянная C > 0, что
(3.1.1) kAxkY CkxkX для всех x 2 X:
Доказательство. Пусть для всех x 2 X верно неравенство (3.1.1). Если множество M X ограничено, то оно содержится в некотором шаре B(x0; r). Тогда для всех x 2 M мы имеем
kxkX kx x0kX + kx0kX r + kx0kX;
Следовательно,
kAxkY CkxkX C (r + kx0kX) ;
для всех x 2 M, т.е. A(M) B(0; C(r + kx0kX)), а значит, это множество ограничено. Итак, оператор A ограничен.
Если оператор A ограничен, то он, в частности, переводит единичный шар в ограниченное множество, т.е. существует такая постоянная C > 0, что kAxkY C для всех kxk 1. Пусть x 6= 0. Тогда kAkxxkX kY C, а значит, в силу линейности верно неравенство (3.1.1). При x = 0 неравенство (3.1.1) очевидно.
Теорема 3.1.1. Пусть X и Y – нормированные пространства. Тогда, для того, чтобы линейный оператор был непрерывным на X, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.
Доказательство. Пусть A : X ! Y – линейный ограниченный оператор. Докажем, что он непрерывен в нуле.
147
Согласно предложению 3.1.3 существует такая постоянная C >
0, что kAxkY CkxkX для всех x 2 X. Для произвольного
" > 0 положим = "=C. Тогда для всех x 2 X, удовлетворяющих kxkX < , выполняется неравенство
kAx A0kY = kAxkY CkxkX < ":
Таким образом, A непрерывен в нуле, а значит, и на всем X (см. предложение 3.1.1).
Обратно, если линейный оператор A непрерывен, то для всякого
" > 0 существует такое > 0, что для всех x 2 X, удовлетворяющих kxkX < , выполняется неравенство
kAx A0kY = kAxkY < ":
Если x 6= 0, то |
x |
X < и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2kxkX |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
A |
x |
|
Y < |
2 x |
X |
|
||||
kAxkY = |
|
|
k k |
|
|
|
|
k |
k |
|
": |
|||
|
|
|
2 x |
k |
X |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
По предложению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.3 оператор A ограничен. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.1.3. Пусть H – евклидово пространство, а H1 –
его подпространство. Как мы видели в разделе 2, H = H1
H1?, то есть всякий элемент x 2 H представим (единственным
образом) в виде x = x1 + x2, где x1 2 H1, а x2 2 H1?. Положим(H1)x = x1. Такой оператор A = (H1) называется оператором
ортогонального проектирования на подпространство H1. Ясно, что
он линеен, а D(A) = X, ker A = H1?, R(A) = H1. Он является ограниченным, поскольку, в силу ортогональности,
kxk2 = kx1k2 + kx2k2 kx1k2:
Пример 3.1.4. Пусть X = C1[a; b], Y = C[a; b], x(t) –