1.6Лекция 6

Теорема 1.6.1. Каждое метрическое пространство X имеет пополнение, и это пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей неподвижными точки пространства X.

Доказательство. Сначала докажем единственность. Более точ-

Отображение определим следующим образом. Пусть x~ – про-

~

извольная точка X. Тогда по определению пополнения существует

последовательность fxng из X, сходящаяся к x~. С другой стороны,

сти fxng, так как если другая последовательность, скажем, fyng,

~ f g

также сходится к элементу x в X, то последовательности xn и

предложение 1.2.1). Обратное отображение определено для всех x~0

с помощью той же процедуры, и, следовательно, также инъективно. Именно, по определению пополнения существует последователь-

2 ~

значит, эта последовательность сходится к некоторому x~ X, при этом x~0 = (~x). Следовательно взаимно однозначно.

Следовательно, ~(~x; y~) = ~0(~x0; y~0), откуда следует и взаимная непрерывность отображения . Итак, – искомая изометрия про-

~ ~0

странств X и X .

Докажем теперь существование пополнения. Идея этого доказательства та же, что и в канторовской теории действительных чисел.

Пусть X – произвольное метрическое пространство. Назовем две фундаментальные последовательности fxng и fyng из X эквивалентными, если

lim (xn; yn) = 0:

n!1

Название "эквивалентность" оправдано, поскольку из аксиом метрики следует, что это отношение рефлексивно ( (xn; xn) = 0), симметрично ( (xn; yn) = (yn; xn)) и транзитивно ( (xn; zn)(xn; yn) + (yn; zn)). Следовательно, все фундаментальные последовательности распадаются на классы эквивалентных между со-

~

бой последовательностей. Пусть X – множество всевозможных классов эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей. Расстояние ~ на этом множестве зададим следующим образом. Пусть x~ и y~ – два таких класса. Выберем в каждом из этих классов по одному представителю, т.е. по некоторой фундаментальной последовательности fxng и fyng. Положим

45

Лемма 1.6.1. Предел (1.6.1) всегда существует и не зависит от выбора представителей fxng и fyng.

Доказательство. В силу неравенства треугольника

j (xn; yn) (xm; ym)j j (xn; yn) (xm; yn)j+

j (xm; yn) (xm; ym)j j (xm; xn) + (ym; yn)j:

Так как последовательности fxng и fyng фундаментальны, то и числовая последовательность fan = (xn; yn)g фундаментальна, а, значит, имеет предел.

Докажем теперь, что этот предел не зависит от выбора представителей fxng и fyng. Пусть fxng; fx0ng 2 x~, и fyng; fyn0 g 2 x~. Тогда

j (xn; yn) (x0n; yn0 )j (xn; x0n) + (yn; yn0 ):

Поскольку fxng эквивалентно fx0ng, а fyng эквивалентно fyn0 g, то

Лемма 1.6.2. Предел (1.6.1) определяет метрику на множе-

~

стве X.

Доказательство. Так как – метрика на X, то ~(~x; y~) 0. Если предел (1.6.1) равен нулю, то последовательности fxng и fyng

эквивалентны, а значит, x~ = y~, т.е. аксиома 1) выполнена. Аксиома 2) очевидна.

Проверим аксиому треугольника. Поскольку – метрика на X,

то

(xn; zn) (xn; yn) + (yn; zn):

46

Переходя в последнем неравенстве к пределу при n ! 1, получаем

(~x; z~) (~x; y~) + (~y; z~):

Лемма 1.6.3. Пространство X можно рассматривать как

~

всюду плотное подпространство в X.

Доказательство. Каждой точке x 2 X отвечает класс эквивалентных фундаментальных последовательностей, сходящихся к x. Он не пуст, так как он содержит стационарную последовательность, все члены которой равны x. При этом, если x = limn!1 xn, y = limn!1 yn, то согласно предложению 1.3.2,

(x; y) = lim (xn; yn) = ~(~x; y~):

n!1

Следовательно, соотнеся каждой точке x 2 X класс сходящихся к ней последовательностей, мы изометрически отобразили простран-

и " > 0 – произвольно. Выберем в x~ представителя, т.е. некоторую фундаментальную последовательность fxng. Пусть N 2 N таково, что (xm; xn) < " для всех n; m > N. Тогда

~(xn; x~) = lim (xn; xm) "

m!1

при n > N, т.е. произвольная окрестность точки x~ содержит неко-

мой этой самой последовательностью. В самом деле, ~(~x; xn) =

47

limk!1 (xk; xn) может быть сделано сколь угодно малым в силу фундаментальности последовательности fxng.

~

Далее, так как X плотно в X, то для любой фундаментальной

f g ~

последовательности точек x~n X можно построить последовательность точек fxng X такую, что ~(xn; x~n) < 1=n. Последовательность fxng фундаментальна в X, так как

(xn; xm) ~(xn; x~n) + ~(~xn; x~m) + ~(xmx~m):

~(~xn; x~) ~(xn; x~n) + ~(xn; x~)

Пример 1.6.1. Пополнение Q суть R (известно из курса математического анализа).

Пример 1.6.2. Как известно из курса математического анализа, пополнение пространства Cp[a; b] (1 p < 1) совпадает с пространством Lp[a; b] измеримых функций таких, что их модули

встепени p интегрируемы по Лебегу на отрезке [a; b].

Ксожалению, конструкция пополнения приводит к существенному расширению пространства и, во многих случаях, к потере конструктивности описания элементов пополнения.