115

2.7Лекция 14

2.7.1Второе сопряженное пространство

Так как непрерывные линейные функционалы на нормированном пространстве L сами образуют нормированное пространство L , то можно говорить о пространстве L непрерывных линейных функционалов на L , т.е. о втором сопряженном пространстве и т.д.

Предложение 2.7.1. Всякий элемент x нормированного пространства L определяет некоторый непрерывный линейный функционал на L :

x(f) = f(x) (f 2 L ):

Доказательство. Зафиксируем x 2 L. Тогда

x(af + bg) = (af + bg)(x) = af(x) + bg(x) = a x(f) + b x(g)

для всех f; g 2 L , т.е. функционал x линеен.

откуда следует, что k k kxk < 1. Следовательно, функцио-

нал x ограничен, а значит, непрерывен. Таким образом, мы получили отображение : L ! L , (где

(x) = x), которое называется естественным отображением пространства L во второе сопряженное.

Предложение 2.7.2. Естественное отображение нормированного пространства L во второе сопряженное является линейным и инъективным.

116

Доказательство. Линейность проверяется непосредственно:

(ax + by)(f) = ax+by(f) = f(ax + by) = af(x) + bf(y) =

ax(f) + b y(f) = a (x)(f) + b (y)(f):

Проверим инъективность. Пусть x 6= y – два элемента из L. Тогда z = x y 6= 0 и kzk 6= 0. Используя следствие 2.5.1, заключаем, что существует непрерывный линейный функционал f 2 L

такой, что f(z) = kzk 6= 0. Следовательно,

(x)(f) (y)(f) = x(f) y(f) = f(x) f(y) =

f(x y) = f(z) = kzk 6= 0;

Предложение 2.7.3. Естественное отображение нормированного пространства L во второе сопряженное является изометрией, т.е.

k (x)k = k xk = kxk:

Доказательство. Из формулы (2.7.1) следует, что k (x)k =

kxk kxk. С другой стороны, по следствию 2.5.1 для каждого

x 2 L существует непрерывный линейный функционал f 2 L такой, что kfk = 1 и f(x) = kxk. Поэтому k (x)k = k xk kxk, что и требовалось доказать. Таким образом, нормированное пространство L изометрично (вообще говоря, незамкнутому) линейному многообразию (L)

L . Отождествляя L с (L), можно считать, что L L .

117

Определение 2.7.1. Нормированное пространство L называется рефлексивным, если отображение есть (сопряженно линейный, в случае комплексных пространств) изоморфизм нормирован-

ных пространств L и L , т.е. если (L) = L (пишем L L ).

=

Пример 2.7.1. Всякое полное евклидово пространство рефлек-

сивно, так как в силу теоремы 2.6.3 мы имеем L L L , и

= =

кроме того, мы знаем общий вид линейных непрерывных функционалов на L и L :

f(x) = (x; af )L; F (f) = (af ; aF )L; x 2 L, f 2 L , F 2 L . Поскольку

(x)(f) = f(x) = (x; af )L;

то мы заключаем, что отображение : L ! L сюрьективно.

Пример 2.7.2. Пространства Rnp (1 p) являются рефлексив-

ными. В самом деле, мы доказали, что (Rn) Rn, 1=q + 1=p =

p = q

1 и получили общий вид непрерывного линейного функционала

x = (x1; : : : ; xn) 2 Rnp , f = (f1; : : : ; fn) 2 (Rnp ) , F 2 (F1; : : : ; Fn)(Rnp ) .

При этом мы имеем:

n

X

(x)(f) = ck fk;

k=1

118

а значит, отображение : L ! L сюрьективно. Отметим, что

(Rnp ) = Rnq 6= Rnp , если p 6= 2.

Пример 2.7.3. Пространства lp (1 < p) являются рефлексивными, поскольку lp = lq = lp (1=q + 1=p = 1). Отметим, что при этом lp = lq 6= lp, если p 6= 2.

Пример 2.7.4. Пространство M0 сходящихся к нулю последовательностей с нормой

kxk = sup jxjj (x 2 M0)

j2N

является примером полного нерефлексивного нормированного про-

пространство ограниченных последовательностей с той же нормой, что и в пространстве M0. Подробнее мы рассмотрим этот пример на практических занятиях.

2.7.2Слабая сходимость

В середине прошлого столетия математики обнаружили, что измерить "близкость" элементов в метрических (нормированных, евклидовых) пространствах можно не только с помощью метрики, что наряду с "обычной" (сильной) сходимостью можно ввести и другие, более слабые типы сходимости.

Определение 2.7.2. Говорят, что последовательность fxng в

нормированном пространстве L сходится слабо к некоторому элементу x, если

lim f(xn) = f(x) для всех f 2 L :

n!1

119

Предложение 2.7.4. Если последовательность fxng сходится в нормированном пространстве L (по норме) к некоторому элементу x, то она сходится слабо к x.

Доказательство. Очевидно, для всякого непрерывного линейного функционала f мы имеем

Теорема 2.7.1. Если последовательность fxng слабо сходится в нормированном пространстве L, то она ограничена, т.е. существует такая постоянная C > 0, что kxnk C для всех n 2 N.

Доказательство. Рассмотрим в L множества

Akn = ff : jf(xn)j kg k; n 2 N:

Эти множества замкнуты. Действительно, если f = limj!1 fj и

ffjg Akn, то

jf(xn)j jf(xn) fj(xn)j + jfj(xn)j jf(xn) fj(xn)j + k:

Переходя в этом неравенстве к пределу при j ! 1, получим

jf(xn)j k, т.е. f 2 Akn.

T

Далее, множества Ak = Akn также замкнуты в силу теоре-

n2N

мы 1.3.3; при этом

Ak = ff : jf(xn)j kg для всех n 2 N:

В силу слабой сходимости последовательности fxng числовая последовательность ff(xn)g ограничена для всякого f 2 L . Поэтому

120

L = S Ak. Так как пространство L полно, то по теореме Бэ-

k2N

ра (см. теорему 1.5.2) хотя бы одно из множеств Ak, скажем, Ak0 , плотно в некотором шаре B(f0; r). Поскольку Ak0 замкнуто, то

B(f0; r) Ak0 . Это означает, что

jf(xn)j k0 для всех n 2 N; и всех f 2 B(f0; r);

т.е. последовательность fxng (как последовательность из L ) ограничена на шаре B(f0; r). Иными словами, при g = f f0 получаем

jg(xn)j = j xn(g)j j xn(g + f0)j + j xn(f0)j 2k0

Теорема 2.7.2. Последовательность fxng элементов нормированного пространства L сходится слабо к x 2 L в том и только том случае, когда

1)fxng ограничена;

2)limn!1 f(xn) = f(x) для всякого f 2 , где – некоторое подмножество L , такое что L( ) плотна в L .

Доказательство. Необходимость следует из теоремы 2.7.1 при

= L .

Достаточность. Из условия 2) следует, что если – (конечная) линейная комбинация элементов из , то limn!1 (xn) =

j (xn) (x)j j (xn) k(xn)j + j k(xn) k(x)j + j k(x) (x)j

121

k kkkxnk + j k(xn) k(x)j + k kkkxk

C" + j k(xn) k(x)j + C":

Но, по условию, lim j k(xn) k(x)j = 0. Следовательно,

n!1

Пример 2.7.5. В пространстве Rnp (n 1, 1 p < 1 слабая сходимость совпадает с сильной. На самом деле это справедливо для любого конечномерного нормированного пространства L. Действительно, пусть fekgnk=1 – какой-нибудь базис в пространстве L, которое мы можем отождествить с Rn, а fgkgnk=1 – базис в пространстве L = Rn, ему двойственный (см. примеры 2.6.1 и 2.6.2). Тогда для всякой слабо сходящейся последовательности fx(k)g со слабым пределом x мы имеем

Поэтому, используя неравенство треугольника для нормы, получаем

n

т.е. последовательность fx(k)g сходится к x сильно (по норме).

123

пространстве L , сопряженном к нормированному пространству L, сходится -слабо к некоторому элементу f, если

lim fn(x) = f(x) для всех x 2 L:

n!1

Поскольку L L (см. предложение 2.7.1), то всякая слабо сходящаяся последовательность в L является -слабо сходящейся, а обратное, вообще говоря, неверно; для рефлексивных и конечномерных пространств эти два вида сходимости совпадают.

Доказательство следующих теорем проводится аналогично доказательству теорем 2.7.1 и 2.7.2 соответственно.

Теорема 2.7.3. Если последовательность ffng в пространстве

L , сопряженном к банахову пространству L, сходится -слабо, то она ограничена, т.е. существует такая постоянная C > 0, что kfnk C для всех n 2 N.

Теорема 2.7.4. Последовательность ffng элементов пространства L , сопряженного к банахову пространству L, сходится

-слабо к f 2 L в том и только том случае, когда

1)ffng ограничена;

2)limn!1 fn(x) = f(x) для всякого x 2 , где – некоторое подмножество L такое, что L( ) плотна в L.

Теорема 2.7.5. В любой ограниченной последовательности ffng элементов пространства L , сопряженного к сепарабельному нормированному пространству L, существует -слабо сходящаяся подпоследовательность.

Доказательство. Выберем в L счетное всюду плотное множество fxmg. Тогда числовая последовательность ffn(x1)g ограничена. Поэтому из ffng можно выбрать подпоследовательность ffn(1)g

124

так, чтобы числовая последовательность ffn(1)(x1)g сходилась. Далее, из ffn(1)g можно выбрать подпоследовательность ffn(2)g

так, чтобы числовая последовательность ffn(2)(x2)g сходилась. Продолжая этот процесс, получим такую систему последовательностей ffn(k)g (каждая из которых содержится в предыдущей), что ffn(k)g сходится в точках x1; : : : ; xk. Тогда, взяв "диагональную" последовательность ffk(k)g, мы получим такую последовательность из L , что числовая последовательность ffk(k)(xn)g схо-

Следствие 2.7.1. (Принцип слабой компактности) Для любой ограниченной последовательности fxng элементов полного сепарабельного евклидова пространства L существует слабо сходящаяся подпоследовательность.

Доказательство. Так как все евклидовы пространства рефлексивны, то утверждение следствия немедленно вытекает из теоремы

2.7.5.