1.4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Знакопеременный ряд, знаки членов которого чередуются

называется знакочередующимся рядом.

Для исследования сходимости знакочередующегося ряда используют признак Лейбница.

Теорема (признак Лейбница)

Если в знакочередующемся ряде

члены таковы, что

1) начиная хотя бы с некоторого номера п₀,

2) ,

то знакочередующийся ряд сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда, т.е.

.

Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, то можно оценить ошибку, которая получается, если заменить его сумму S частичной суммой . При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с. Но эти отброшенные слагаемые сами образуют сходящийся знакочередующийся ряд, сумма которого, согласно теореме Лейбница, по абсолютной величине не превосходит первого члена этого ряда, т.е. меньше:

, где

Значит, ошибка, допускаемая при замене на, не превосходит по абсолютной величине первого из отбрасываемых членов.

Пример 14.

Доказать, что ряд сходится и вычислить приближенно значение его суммы с точностью до=0,01.

Решение.

Данный ряд – знакочередующийся. Для исследования его сходимости используем признак Лейбница. Проверим выполнение условий теоремы:

1. Докажем, что при любом п (или начиная с некоторого номера). Для данного ряда имеем

,



получили неравенство, которое верно для любого п, значит, верно и неравенство для любого п.

2. Проверим условие : .

Таким образом, оба условия теоремы Лейбница выполнены, следовательно, ряд сходится.

Как отмечалось выше, ошибка, допускаемая при замене точного значения суммы ряда на приближенное значение частичной суммы, не превосходит по абсолютной величине первого из отбрасываемых членов. Значит, чтобы вычислить сумму ряда с указанной точностью, нужно найти такой член ряда, который по абсолютной величине меньше заданной точности и начиная с этого члена отбросить остаток ряда. Затем вычислить оставшуюся частичную сумму – она и будет равна сумме ряда с заданной точностью=0,01.

Для данного ряда имеем:

,

следовательно, для вычисления суммы ряда с точностью =0,01, достаточно взять первых три члена ряда.

.

При этом допущенная ошибка не превосходит первого отброшенного члена, т.е.

Пример 15.

Исследовать сходимость ряда и установить характер сходимости (абсолютная или условная).

а) ;

б) ;

в) ;

г)

Решение.

а) Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

.

Получили гармонический ряд – он расходится. Но сделать вывод о сходимости заданного знакочередующегося ряда нельзя. Он точно не является абсолютно сходящимся, т.к. ряд из абсолютных величин расходится. Но он может сходиться условно или расходиться. Проверим это с помощью признака Лейбница.

1. Имеем . Проверим условие :

– получили неравенство, верное для любого п, значит, для любого п.

2. Условие также выполняется: .

Следовательно, данный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. А так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный ряд сходится условно.

б) Для знакочередующегося ряда составим ряд из абсолютных величин его членов:

.

Применим к этому ряду признак ДАламбера.

,

значит, ряд составленный из абсолютных величин членов заданного ряда, сходится. А это значит, что и заданный ряд сходится, причем абсолютно.

в) К знакочередующемуся ряду применим признак Лейбница.

1) Проверим выполнение условия :



(разделим обе части неравенства на ) – получили неравенство, верное для любогоп, следовательно, для любого п выполняется и неравенство.

2) Проверим условие :, т.е. второе условие признака Лейбница не выполняется, следовательно, данный ряд расходится.

г) Для ряда составим ряд из абсолютных величин его членов:

.

Общий член полученного ряда представляет собой отношение двух многочленов, поэтому для исследования его сходимости целесообразно применить предельный признак сравнения. В качестве «эталонного» ряда возьмем гармонический ряд , который расходится. Найдем предел отношения общих членов этих рядов:

.

Значит, оба ряда ведут себя одинаково и следовательно, ряд расходится.

Таким образом, пока ничего нельзя сказать о сходимости исходного знакочередующегося ряда, он может расходиться или сходиться условно.

Применим к заданному ряду признак Лейбница.

1) Проверим выполнение условия :

.

Очевидно, что при любом значении п знаменатель дроби , значит, числитель дроби тоже больше нуля:

 

.

Очевидно, полученное неравенство верно для любого , следовательно, для любогоп выполняется и неравенство.

2) Проверим условие :, т.е. второе условие признака Лейбница также выполняется, следовательно, данный ряд сходится. А так как ряд из абсолютных величин его членов расходится, то заданный ряд сходится условно.

⁾ Здесь использован второй замечательный предел .

*⁾ Здесь мы воспользовались известным неравенством для всех.

*⁾ Здесь использован первый замечательный предел .

23