Если , то ряд расходится.

Пример 3.

Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Найдем предел общего члена ряда при п, стремящемся к бесконечности:

,

Следовательно, ряд расходится.

Замечание. При решении этого примера и в дальнейшем для раскрытия неопределенности полезно помнить, что предел отношения многочленов равен:

1.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

При изучении знакопостоянных рядов достаточно рассмотреть ряды с положительными членами, причем возможно и существование членов, равных нулю. Ряды с отрицательными членами будем рассматривать как соответствующие ряды с положительными членами, умноженные на (-1), что по свойству рядов не влияет на их сходимость и расходимость.

Числовой ряд

=,

члены которого неотрицательны, т.е. при всехп, называется знакоположительным рядом.

Теорема (признак ДАламбера)

Если для знакоположительного ряда

=

отношение последующего члена ряда к предыдущему имеет конечный предел при стремлении п к бесконечности, т.е.

,

то

1. ряд сходится при ,

2. ряд расходится при .

Замечания:

1.В случае ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не даёт, требуются дополнительные исследования.

2. Если , то ряд расходится.

Пример 4.

Исследовать сходимость рядов:

а) ; б).

Решение.

Для ответа на поставленный вопрос используем признак ДАламбера.

а) Общий член рядаимеет вид, тогда. Так как, то, тогда.

Найдем отношение последующего члена к предыдущему:

.

Тогда

.

Таким образом , следовательно, по признакуДАламбера, данный ряд сходится.

б) Для ряда имеем:и, откуда

.

Тогда , , следовательно, ряд расходится согласно признакаДАламбера.

Заметим, что признак ДАламбера дает ответ на вопрос о сходимости знакоположительного ряда только в том случае, когда существует и отличен от 1. Если же предел вычислить нельзя или он равен 1, то в этом случае ряд может оказаться и сходящимся, и расходящимся. Для решения вопроса о сходимости таких рядов нужно применить другой признак или определение сходящегося ряда.

Пример 5.

Исследовать сходимость ряда

.

Решение.

Для данного ряда и, тогда

,

откуда

, следовательно, на основании признака ДАламбера сделать вывод о сходимости ряда нельзя. Заметим также, что не дает ответа и необходимый признак, так как

.

Воспользуемся определение сходящегося ряда, т.е. найдем предел последовательности частичных сумм ряда. Для этого, как и в примере 1,б, преобразуем общий член ряда

.

Тогда п-ая частичная сумма равна

.

По определению имеем

.

Следовательно, ряд сходится и его сумма равна 1.

Заметим, что признак ДАламбера целесообразно применять в том случае, когда в общий член ряда входит показательная функция или (и) п! (факториал). В этом случае обычно существует и не равен 1.

Теорема (радикальный признак Коши)

Если для знакоположительного ряда =

величина корня п-ой степени из общего члена имеет конечный предел при стремлении п к бесконечности, т.е.

,

то

1. ряд сходится при ,

2. ряд расходится при .

Замечания:

1.В случае ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не даёт.

2. Если , то ряд расходится.

Пример 6.

Исследовать сходимость рядов:

а) ;

б) ; в).

Решение.

Для исследования сходимости будем использовать радикальный признак Коши.

а) Для ряда общий член имеет вид, тогда

, , значит, ряд сходится по признаку Коши.

б) Преобразуем общий член ряда:

.

Исследуем сходимость ряда. По признаку Коши имеем

.

Согласно замечанию 2 к признаку Коши, ряд расходится, а значит, расходится и ряд=.

в) Для ряда имеем:

,

^).

Таким образом, , следовательно, ряд расходится.

Очевидно, что радикальный признак Коши целесообразно использовать в том случае, когда общий член ряда представляет степень с показателем, кратным п.

Теорема (интегральный признак Коши)

Пусть члены знакоположительного ряда =не возрастают, т.е.

,

и пусть непрерывная невозрастающая функция такова, что.

Тогда из сходимости (расходимости) несобственного интеграла следует сходимость (расходимость) ряда .

Пример 7.

Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда

в зависимости от р ().

Решение.

Очевидно, члены ряда положительны и убывают, т.е.

Рассмотрим функцию ,. Эта функция удовлетворяет условиям теоремы: не возрастает, непрерывна при , при значения функции равны соответствующим членам ряда.

Рассмотрим несобственный интеграл

.

Изучим сходимость этого интеграла при различных значениях р.

1) Если , получим

следовательно, несобственный интеграл сходится, а значит, и ряд сходится.

2) Если , то

следовательно, несобственный интеграл расходится, и ряд также расходится.

3) Если , то

значит, интеграл расходится, и ряд также расходится.

Таким образом, получили, что обобщенный гармонический ряд

Заметим, что признак ДАламбера и признаки Коши удобны тем, что опираются только на свойства данного ряда. Но часто сходимость или расходимость знакоположительного ряда приходится устанавливать путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. В качестве «эталонного» ряда часто используют ряд, составленный из членов геометрической прогрессии или обобщенный гармонический ряд.

Пксть даны два знакоположительных ряда

=и =.

Для них справедливы утверждения:

Признак сравнения

Пусть, начиная с некоторого номера п, выполняется неравенство . Тогда

1. если ряд сходится, то и ряд– сходится (из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами);

2. если рядрасходится, то расходится и ряд (из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами).

Предельный признак сравнения

Если существует конечный, не равный нулю предел отношения общих членов двух рядов, т.е. , то ряды и либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Пример 8.

Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Поскольку для всех выполняется условие, то , т.е. заданный ряд – знакоположительный.

Сравним заданный ряд с рядом . Члены этого ряда образуют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членоми знаменателем, следовательно, этот «эталонный» ряд сходится. Сравним общие члены рассмотренных рядов. Очевидно, что

для любого ^*). Таким образом, ряд с большими членами сходится, значит, по признаку сравнения, ряд с меньшими членами также сходится.

Для исследования заданного ряда на сходимость можно также использовать предельный признак сравнения. В качестве «эталонного» ряда будем использовать тот же ряд членов геометрической прогрессии, который является сходящимся.

Найдем предел отношения общих членов рядов, данного и»эталонного»:

^*), получили конечный, не равный нулю предел, значит, заданный ряд ведет себя также, как и выбранный «эталонный» ряд. Следовательно, ряд сходится.

Пример 9.

Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Сравним данный ряд со сходящимся рядом , составленным из членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем. Сравним общие члены этих рядов. Очевидно, для любогоимеет место неравенство, следовательно

.

Таким образом, известно, что ряд с большими членами сходится, значит, по признаку сравнения, сходится и рядс меньшими членами.

Заметим, что использование предельного признака сравнения в данном случае не дает ответа на вопрос, т.к. предел отношения общих членов равен нулю:

.

Заметим также, что общий член ряда содержит показательную функцию, поэтому, для исследования сходимости ряда может быть применен признак ДАламбера:

,

следовательно, ряд сходится.

Пример 10

Сходится ли ряд ?

Решение.

Воспользуемся предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд со сходящимся рядом , составленным из членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем. Найдем предел отношения общих членов рядов

.

Получили конечный, не равный нулю предел, следовательно, заданный ряд ведет себя так же, как и «эталонный» ряд, то есть сходится.

Пример 11.

Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который, как известно, расходится.

Применим предельный признак сравнения. Имеем:

, ,

, т.е. .

Следовательно, заданный ряд, так же как и «эталонный» гармонический, расходится.

Заметим, что применять предельный признак сравнения удобно в том случае, когда общий член исследуемого ряда представляет собой отношение двух многочленов, т.е.

.

В этом случае в качестве «эталонного» используется обобщенный гармонический ряд с общим членом , где.

Пример 12.

Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Общий член данного ряда представляет собой отношение многочленов , причем степень числителя, а степень знаменателя. Учитывая сделанное выше замечание, сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом с общим членом , где, т.е. с гармоническим рядом, который расходится. Имеем:

,

следовательно, заданный ряд, как и «эталонный», расходится.