3.3. Разложение в степенные ряды основных элементарных функций
Частный случай ряда Тейлора при х0 =0
называемся рядом Маклорена для функции f(x).
Найдем разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.
Пример 23
Разложить в ряд
Маклорена функцию
.
Решение.
Для решения задачи будем использовать алгоритм, сформулированный выше. Так как требуется разложить функцию в ряд Маклорена, следовательно, будем искать разложение в окрестности точки х0 = 0.
Найдем значение функции в точке х0 =0, производные функции до п -го порядка и их значения при х0 = 0:
Запишем формально ряд Маклорена по формуле
,
получим
.
Заметим, что получили рад по нечетным степеням, так как коэффициенты при четных степенях (когда п - четное число) равны нулю.
Найдем область сходимости полученного ряда, для этого составим ряд из абсолютных величин членов ряда:
и применим к нему признак Д'Аламбера.
Так как величина предела не зависит от х и меньше единицы при любом х, то ряд сходится при всех значения, значит, область сходимости ряда х (–,+).
Проверим выполнение достаточных условий. Очевидно, что
для п
= 0,1,2,... и
для любых х,
значит, функция разлагается в свой ряд Маклорена на всей числовой оси, т.е.
при х (–,+).
В рассмотренном примере для определения коэффициентов разложения функции в степенной ряд в окрестности точки х0=0 мы последовательно дифференцировали функцию до тех пор, пока не смогли вывести формулу для п-ой производной, и находили значения производных в данной точке. Затем выясняли, для каких х выполняются достаточные условия разложимости функции в ряд. Часто эти шаги приводят к громоздким вычислениям. Эти трудности иногда можно обойти, используя утверждение о том, что полученное любым способом разложение функции в степенной ряд будет её разложением в ряд Тейлора. Поэтому, чтобы получить разложение функции в степенной ряд, можно использовать уже известные разложения элементарных функций ряд Маклорена, применяя к ним правила сложения, умножения рядов и теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов.
Например, разложение функции f(x)=cosx можно получить, продифференцировав почленно разложение в ряд Маклорена функции f(x) = sinx.
,
при х
(–,+).
Аналогично, используя алгоритм разложения и теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов, можно получить разложения в ряд Маклорена следующих элементарных функций:
при х
(–,+);
,
если т≥.0, или т -1, то область сходимости х (-1;1),
если –1< т<0, то область сходимости х (-1;1].
Такое разложение называется биномиальным рядом. В частности, полагая в последнем разложении т = –1, получим
,
х
(-1;1).
Заменяя в этом разложении х на выражение (–х), получим
,
при х
(–1;1).
Используя
теорему об интегрировании степенных
рядов и применяя её к разложению в ряд
Маклорена функции
,
получим
при х
(–1;1].
Заменяя
в разложении функции
переменнуюх
на выражение
и интегрирую, получим
,
при х
[–1;1].
Используя
биномиальный
ряд– разложение
в ряд Маклорена функции
,
полагая
,
заменяях на
выражение
и интегрируя,
получим
,
при х
(–1;1).
Пример 24.
Используя известные
разложения, разложить
в ряд Мэклорена
функцию
.
Решение
Необходимо найти разложение функции в ряд Маклорена, т.е. в степенной ряд по степеням х. Будем использовать разложение
при t
(–1;1].
Полагая t = x2 , получим
Это разложение
справедливо, когда
,
откуда
,
тогда область сходимости
.
Таким образом,
Умножая обе части равенства на х, получим
при х
[–1;1].
Пример 25
Используя известные
разложения, разложись функцию
в ряд Тейлора
в окрестности точки х0
=1.
Решение.
Необходимо получить разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки х0 = 1, т.е. по степеням (х–1).
Будем использовать разложение
,
при t
(-1;1).
Для того, чтобы получить разложение данной функции по степеням (х–1) введем новую переменную t=x–1, тогда х = t + 1. Преобразуем данную функцию к новой переменной, полагая х = t + 1:
Полагая в известном
разложении вместо t
выражение 
и умножая
на число
,получим
,
при
(-1;1).
Полагая в полученном разложении t = x–1, возвратимся к исходной переменной х и получим разложение данной функции в степенной ряд по степеням (х -1):
Это разложение
справедливо при условии
,
откуда
.
Итак, получили разложение
при
.
Пример 26
Разложить функцию
в степенной ряд в точке
.
Решение.
Преобразуем данную функцию, используя свойства логарифмов:
Используя известное разложение
при t
(–1;1].
найдем разложение
функции
,
полагая
t=2x,
и функции
,
полагая t
= –х:
разложение
справедливо при 2х
(–1;1),
т.е. при
.
Аналогично,
и разложение справедливо при (–х) (–1;1), т.е. при х (–1;1).
Степенные ряды можно почленно складывать и умножать на число, значит
причем
это разложение справедливо на общей
области сходимости, т.е. при
.
Пример 27
Разложить в ряд
Маклорена функцию
.
Решение.
Преобразуем функцию
.
Используя известное
разложение в ряд Маклорена функции
у=(1+t)m,
полагая
и
,
получим
Используемый
биномиальный ряд при
имеет область сходимостиt
(-1;1], следовательно, полученное разложение
справедливо при
,
откуда
,
.
Итак,
при
.