Вопросы к защите темы «Функции нескольких переменных»

1. Понятие функции нескольких переменных, ее область определения. Привести примеры функции 2-х, 3-х, п переменных. Что представляет собой область определения функции двух переменных?

2. Каково геометрическое изображение функции 2-х переменных?

3. Дайте определение линии, поверхности уровня, приведите примеры.

4. Предел ФНП, непрерывность ФНП.

5. Определение частного приращения ФНП, частных производных 1-го, 2-го, 3-го и т.д. порядков. Запишите определение частных производных первого порядка для функции .

6. Физический смысл частных производных 1-го порядка.

7. Понятие дифференцируемости ФНП, полного дифференциала, связь между этими понятиями. Частные дифференциалы, формула полного дифференциала 1-го ,2-го порядков. Запишите формулу нахождения функции.

8. Производная по направлению, градиент, их свойства и связь (с доказательством), физический смысл. Заполните пропуски в следующей фразе «Производная функции U = f(x,y,z) по направлению вектора s характеризует . . . . . . функции в . . . . . . . Это производная вычисляется по формуле , где» .

9. Установите соответствие между символами 1- 4 и тем, что характеризуют (а – г) математические объекты, обозначенные этими символами: 1. dz , 2. grad z, 3. , 4.; а) скорость изменения функции z = f(x, y) в направлении оси ОУ; б) приращение функции при малых приращениях аргументов; в) скорость изменения функции в направлении вектора; г) направление наискорейшего возрастания функции.

10. Линеаризация функции одной и нескольких переменных, ее геометрическая интерпретация, формула линеаризации. Касательная плоскость.

11. Неявная функция 1-й, 2-х, 3-х и т.д. переменных. Дифференцирование неявных функций (запишите формулы нахождения частных производных). Привести примеры для функций 1-й, 2-х, 3-х переменных.

12. Определение точек максимума и минимума ФНП, экстремумов ФНП.

13. Необходимое условие существования экстремума (с доказательством), критические точки, их связь с точками экстремума.

14. Достаточное условие существования экстремума ФНП, частный случай функции 2-х переменных.

15. Сформулируйте алгоритм нахождения экстремума функции z = f(x,y).

16. Условный экстремум, его геометрический смысл, способы его нахождения.

17. Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой ограниченной области, условия их существования для ФНП, графический и аналитический методы их нахождения.

18. Метод наименьших квадратов, его суть Какая задача решается методом наименьших квадратов? Опишите принцип решения этой задачи.

19. Если по характеру расположения точек (х_к , у_к) на координатной плоскости выбран вид аналитической зависимости у = ах +b(илиу = ах² + bх + с, или у = а^х + b). Изложите метод нахождения параметров а, b (с) этой зависимости.

Задачи

1. Для функции z = x² + y² –6x +4y + 25 запишите уравнение линии уровня, проходящей через точку Р(1, –4). Постройте ее.

2. Постройте линию уровня функции z = x – 4y + y² , в каждой точке которой функция принимает значение 5.

3. Температура стержня ОХ является функцией абсциссы х этой точки и времени t:  = f(x, t). Каков физический смысл частных производных и?

4. Записать площадь S прямоугольника как функцию его основания b и высоты h. Найти и, указать их смысл.

5. Температура Т точки остывающего стержня является функцией двух переменных: расстояния x точки от начала стержня и момента времени t: . Вычислите и укажите физический смыслв точке Р(1,2) .

6. Найдите смешанные производные второго порядка функции .

7. Функции и(х, у, z) = и 3х⁴ – 4у³z + 4z²xy – 4z³x + 1 =0 в окрестности точки (1, 1, 1) заменить приближенно равными им линейными функциями.

8. Укажите, в каком направлении следует двигаться от точки , чтобы функциявозрастала быстрее всего. Постройте этот вектор.

9. В каком направлении должна двигаться точка М(х, у, z) при переходе через точку М₀(2, 0, 1), чтобы функция убывала с наибольшей скоростью?

10. Найти производную функции и = х² –3хуz + 5 в точке М(1, 2, –1) в направлении, составляющем равные углы со всеми осями координат.

11. Скорость распределения материи в пространстве переменных r, s, t задается формулой . В каком направлении плотность в точке М(–1, 3, 2) меняется быстрее всего? Чему равна наибольшая скорость изменения плотности?

12. Как изменилась диагональ прямоугольника, если одна его сторона а = 20см уменьшилась на 2% своей длины , а вторая сторона b = 30см увеличилась на 3% . (не пользуясь МК)

13. Заполните пропуски в таблице, если ,r = :

    Условия на		Наличие и вид Экстремума
    	r
    …	…	точка экстремума
    …	любой знак	нет экстремума
     > 0	…	точка минимума

14. Найдите экстремум функциипри условии.

15. Найти экстремум функции при условии.

16. Сформулируйте необходимые условия существования экстремума функции. Являются ли эти условия достаточными? Если нет, сформулируйте и проверьте выполнение достаточных условий существования экстремума функциив точке

17. Графически найдите наибольшее значение функции в области, заданной системой неравенств.

18. Графически найдите наибольшее и наименьшее значения функции F = x² – y в области G , изображенной на рис.1.

19. Исследовать на экстремум функцию z = xy при условии х² + у² = 2а².

20. Найти экстремум функцию .

21. Пусть в качестве эмпирической зависимости выбрана формула . Изложите метод нахождения ее неизвестных параметров.

11