Модуль 3. Интегральное исчисление функций одной переменной

Тема 1. методы нахождения неопределенного интеграла

Непосредственное интегрирование

1.1. Вычислить, используя свойства и таблицу основных интегралов.

; 4) ;

5) ; 6); 7) ;

8) ; 9);

10) ; 11); 12).

Замена переменной в неопределенном интеграле

1.2. Найти интегралы методом замены переменной

1. ; 2) ; 3);

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8)) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ;15)

Метод интегрирования по частям* .

1.3. С помощью метода интегрирования по частям найти интегралы.

1) ; 2); 3).

Тема 2. Интегрирование рациональных функций

Интегралы от рациональных дробей вида и

2.1. Найти интегралы.

1) ; 2); 3); 4).

Интегралы от рациональной дроби вида ()

2.2. Найти интегралы.

1) ; 2); 3).

Интегралы от правильной дробно-рациональной функции

2.3. Найти интегралы, используя метод неопределенных коэффициентов.

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6).

Интегралы от неправильной дробно-рациональной функции

2.4. Найти интегралы.

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6).

Тема 3. Вычисление определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница

4.2. Вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

1) ; 2); 3);

4) 5)6).

7) ; 8); 9).

Замена переменной в определенном интеграле

4.3. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной.

1) ; 2) ; 3);

4) ; 5); 6).

7) ; 8); 9);

10) ; 11); 12);

13) ; 14); 15).

Тема 4. Вычисление площадей плоских фигур. Несобственные интегралы

Вычисление площадей плоских фигур

4.1. Найти площади фигур, ограниченных линиями.

1) ,,,. 2),,,.

3) ,. 4),,.

5) ,,.

Несобственные интегралы

4.2. Вычислить несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (или установить их расходимость).

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6)

Контрольная работа № 3

«Неопределенный и определенный интегралы»

Примерные задачи в контрольной работе

Задача 1. Найти неопределенные интегралы.

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6).

Задача 2. Вычислить определенные интегралы, применяя формулу Ньютона-Лейбница:

1) ; 2); 3).

Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

вопросы к зачету (1-й семестр)

Студент должен знать:

Определения:

1. функции одной и нескольких переменных,

2. предела функции при стремлениик числу, при стремлениик бесконечности,

3. функции, непрерывной в точке,

4. производной функции одной переменной;

5. дифференциала функции;

6. экстремума функции одной переменной;

7. частных производных второго порядка, третьего, -го порядка функции,

8. первообразной функции;

9. неопределенного интеграла;

10. определенного интеграла;

11. несобственных интегралов функции на бесконечном промежутке.

Теоремы и свойства:

1. основные теоремы о пределах функций,

2. необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке,

3. необходимые условия экстремума функции: а) одной переменной; б) двух переменных,

4. достаточное условие экстремума функции одной переменной,

5. достаточное условие экстремума функции двух переменных,

6. свойства неопределенного интеграла, их символическую запись,

7. таблицу основных интегралов.

Правила:

1. нахождения производных, их математическую запись,

2. нахождения производной сложной функции,

3. нахождения экстремума функции одной переменной,

4. нахождения частных производных,

5. нахождения экстремума функции двух переменных,

6. нахождения наименьшего и наибольшего значения функции в замкнутой ограниченной области,

7. нахождения наименьшего и наибольшего значения функции в замкнутой ограниченной области,

8. метода замены переменной в неопределенном интеграле,

9. методы вычисления определённого интеграла.

Уметь решать основные задачи:

1. находить область определения функции одной и двух переменных;

2. вычислять пределы функций, раскрывать неопределенности,

3. определять область непрерывности функции,

4. вычислять производные сложных функций одной и нескольких переменных,

5. находить минимум и максимум функции одной и двух переменных,

6. находить наибольшее и наименьшее значения функции,

7. находить неопределенный интеграл методами непосредственного интегрирования, замены переменной,

8. интегрировать простейшие рациональные функции,

9. вычислять определенный интеграл методами замены переменной,

10. вычислять несобственные интегралы на бесконечном промежутке,

11. вычислять площади плоских фигур с помощью определенного интеграла.