Контрольная работа № 1

«Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

Вариант 0

Примерные задачи в контрольной работе

Задача 1. Вычислить пределы функций.

1) ; 2); 3).

Задача 2. Построить график функции, заданной несколькими аналитическими выражениями

Исследовать функцию на непрерывность в точках и.

Задача 3. Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производные функций:

1) ;

2) .

Задача 4. Найти значение производной функции в точке.

Задача 5. Найти производные сложных функций:

1) ;

2) .

Задача 6. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Задача 7. Найти экстремумы функции . Сделать схематичный чертеж.

Задача 8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Задача 9. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Тема 1. Функции двух переменных, линии уровня. частные производные

Область определения функции двух переменных

1.1. Найти значения функции при заданных значениях аргументов.

1) ,,;

2) ,,;

3) ;,.

Линии уровня функции

1.3. Построить линии уровня функции двух переменных при заданных значениях.

1) ,; 2),; 3),.

Частные производные функции

1.5. Найти частные производные 1-го порядка функции:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8); 9).

1.6. Вычислить значения частных производных функции в точке.

1) ,; 2),.

1.7. Найти частные производные второго порядка. Убедиться в равенстве смешанных частных производных.

1) ; 2); 3);

4) .

Тема 2. Экстремум функции двух переменных

(безусловный и условный)

Безусловный экстремум функции

2.1. Найти экстремум функции двух переменных .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Условный экстремум функции

2.2. Найти условный экстремум функции, применяя метод подстановки.

1. , если ;

2. , если ;

3. , если .

Тема 3. наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области. градиент функции

Наибольшее и наименьшее значения функции в области

3.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области.

1) функция ,границы области {,,};

2) функция границы области .

3) функция ,границы области {,,,}.

Градиент функции

3.2. Найти градиент функции:

1) 2)3)

3.3. Построить линии уровня и в точке А(1;2) для функций:

1) ; 2); 3).

Контрольная работа № 2

«Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»

Вариант 0

Примерные задачи в контрольной работе

Задача 1. Дана функция двух переменных

.

1. Описать математически область определения функции

2. Изобразить геометрически на плоскости область определения функции.

Задача 2. Дана функция .

1. Найти все частные производные первого и второго порядка функции.

2. Убедиться в равенстве смешанных производных.

Задача 3. Дана функция .

1. Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку, и построить линию уровня

2. Найти градиент функции в точке и наибольшую скорость изменения функции в этой точке.

3. Построить градиент.

Задача 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, заданной уравнениями границ ,,.

Задача 5. Найти экстремумы функции .

Задача 6*. Дана функция ,где - выпуск продукции,и- ресурсы двух видов.

1. Вычислите коэффициент эластичности в точке.

2. Дайте истолкование результату.