3 Синтез линейной системы автоматического регулирования по логарифмическим частотным характеристикам

3.1 Построение желаемых логарифмических характеристик

Желаемой называют асимптотическую ЛАЧХ L_ж() разомкнутой системы, имеющей желаемые (требуемые) статические и динамические свойства. Желаемая ЛАЧХ (рисунок 11) состоит из трёх основных асимптот: низкочастотной, среднечастотной и высокочастотной. Кроме того, могут быть сопрягающие асимптоты, которые соединяют основные.

Построение желаемой ЛАЧХ производится на основании требований к системе. Низкочастотная часть этой характеристики обуславливает точность воспроизведения медленно изменяющихся воздействий. По её виду можно найти добротности по скорости и ускорению и статическую ошибку системы. Низкочастотный участок (рисунок 11) для астатических систем (неизменяемая часть системы L₀() ) должен иметь наклон –20nдб/дек (гдеn– число интегрирующих звеньев в системе, в нашем случаеn= 1) и при= 1 ординату, равную 20lgK (для нашего случая 20lgK=23.03, где К = 14.175).

Среднечастотная асимптота ЛАЧХ разомкнутой системы и её сопряжение с низкочастотной определяют динамические свойства системы – устойчивость и показатели качества переходной характеристики.

Построение среднечастотной асимптоты желаемой ЛАЧХ начинаем с выбора частоты среза _СРпо номограмме составленной В.В.Солодовником ([1], страница 272), которая определяет зависимость перерегулированияи времени регулированияt_Рот максимума Р_MAX вещественной частотной характеристики замкнутой системы, причём время регулированияt_Рдано в виде функции частоты среза_СР.

По заданному значению перерегулирования = 25% определяем значение Р_MAX = 1,18. Затем по Р_MAX определяем соотношение междуt_Ри_СР:

.

с^-1.

Среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ проводится через точку _СРс наклоном -20дб/дек. При большем наклоне трудно обеспечить необходимый запас устойчивости и допустимое перерегулирование.

Проводим прямые с ординатами +∆Lи -∆L(пунктирными линиями на рисуноке 11). Затем после построения среднечастотной асимптоты (наклон –20 дб/дек) наносим сопрягающую асимптоту с наклоном –40 дб/дек, начиная её из точки среднечастотной асимптоты с ординатой ∆L= 20 дб.

Высокочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ мало влияет на свойства системы, поэтому выбираем (наклон –40 дб/дек) её так, чтобы корректирующее устройство было возможно более простым. Это достигается при совмещении высокочастотных асимптот характеристик L_ж() иL₀().

Рисунок 10 - Построение желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего устройства

3.2 Определение передаточной функции желаемой ЛАЧХ

По виду желаемой ЛАЧХ L_ж() составляем передаточную функцию разомкнутой скорректированной системы:

, (3.2.1)

где

. (3.2.2)

По формуле (3.2.2) определяем постоянные времени Т_а, Т_в, Т_е, Т_f

Т_а = 1.724, Т_в = 0.017, Т_е= 4.651, Т_f= 0.01

Подставив в формулу (3.1.1) коэффициенты получим

.

Проверяем избыток фазы при контрольных частотах _а= 0.58 с^-1,

_СР= 5.9 с^-1и_b= 58 с^-1(рисунок 11) по следующей формуле:

∆= π+, (3.1.3)

где ,

< 0.

Проверяют запас устойчивости Δφ_ж(ω_а) иΔφ_ж(ω_в) на частотахω_а и ω_в , граничных частотах среднечастотного диапазона. Если условие Δφ≥Δφ_min(Δφ_min=50⁰=0,873 рад) выполняется, то система имеет требуемый запас по фазе, и выполненное сопряжение асимптот желаемой ЛАЧХ принимается.

,

рад,

∆(_а) = 1,115 рад ,

∆(_а) > ∆_min.

,

∆(_b) = -0,532 рад,

∆(_b)<∆_min.

Условие запаса устойчивости выполняется только для частоты .Тогда проверим выполнение данного условия на частоте среза.

Подставив численные значения, получим ,условие выполняется, значит, вопрос о коррекции желаемой ЛАЧХ, решаем на основе оценки качества системы.

3.3 Расчет переходного процесса по вещественной частотной

характеристике методом трапеций

Наиболее известным методом определения переходных процессов является метод построения кривой переходного процесса с помощью трапецеидальных вещественных частотных характеристик АСР.

1) Записываем передаточную функцию замкнутой системы на основе передаточной функции скорректированной разомкнутой системы

,

.

2) Вычисляем коэффициенты этой передаточной функции:

,

где ;

;

;

;

;

;

;

.

Передаточная функция скорректированной замкнутой системы с учётом найденных коэффициентов имеет следующий вид:

.

3) Выделяем вещественную частотную характеристику замкнутой системы, произведя следующую подстановку:

,

.

Записываем значения вещественной и мнимой части для полиномов числителя и знаменателя частотной передаточной функции замкнутой АСР:

,

где ;

;

;

.

Записываем значение вещественной частотной характеристики для замкнутой системы:

,

.

Задавая значения 0 < < 70 (таблица 6), строим вещественную частотную характеристику (рисунок 11).

Таблица 6 – Значения вещественной характеристики

	0	0,5	1,5	2	2,5
Р()	1	1,03	1,042	1,024	0,999
	3	4	5	6	7
Р()	0,97	0,906	0,839	0,776	0,718
	8	9	10	15	20
Р()	0,666	0,621	0,58	0,432	0,333
	25	30	35	40	45
Р()	0,261	0,205	0,162	0,129	0,103
	50	55	60	65	70
Р()	0,082	0,066	0,054	0,044	0,036

Рисунок 11 – Вещественная частотная характеристика

Рисунок 12 – Увеличенный участок ВЧХ

4) Разбиваем вещественную частотную характеристику на трапеции. Для этого кривую вещественной характеристики заменяем приближенно трапециями (рисунок 13 – 14) с учетом следующих правил:

• разбивка кривой на прямолинейные участки должна с возможно меньшей погрешностью повторять ход кривой;

• все трапеции и треугольники должны иметь одну сторону, расположенную на оси ординат;

• сумма площадей трапеций и треугольников должна приблизительно равняться площади, ограниченной кривой вещественной частотной характеристики с учетом знаков отдельных площадок расположенных выше и ниже оси абсцисс;

• более тщательно необходимо аппроксимировать начальную часть вещественной частотной характеристики. Ее конечную часть с ординатами, меньшими по абсолютному значению, чем 0.1Р( = 0).

Рисунок 13 – Разбиение ВЧХ на трапеции

Рисунок 14 – Разбиение ВЧХ на трапеции

5. Определяем параметры каждой трапеции (таблица 7): находим частоты _oi и _аi и значение высоты р_i. По значениям _oi и _аi вычисляем коэффициенты наклона _i=_di/_ni и округляем его до ближайшего из значений 0;0.05;0.10;…;0.95;1. Величину р_i принимаем положительной, если меньшая параллельная сторона трапеции расположена выше большей, и отрицательной - в противоположном случае.

Рисунок 15 – Трапеция № 1

Рисунок 16 – Трапеции № 2, 3, 4, 5

Таблица 7 – Таблица h-функций

Трапеция №1				Трапеция №2				Трапеция №3
d1 = 0,08 с-1				d2 = 2 с-1				d3 = 8 с-1
n1 = 0,7 с-1				n2 = 8 с-1				n3 = 11 с-1
P1 = -0,06				P2 = 0,78				P3 = 0,28
1 = 0,1				2 = 0,25				3 = 0,7
	h1()	t	h1(t)		h2()	t	h2(t)		h3()	t	h3(t)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0,5	0,176	0,714	-0,011	0,5	0,199	0,063	0,155	0,5	0,267	0,045	0,075
1	0,34	1,429	-0,020	1	0,386	0,125	0,301	1	0,519	0,091	0,145
1,5	0,494	2,143	-0,030	1,5	0,56	0,188	0,437	1,5	0,74	0,136	0,207
2	0,628	2,857	-0,038	2	0,709	0,250	0,553	2	0,919	0,182	0,257
2,5	0,797	3,571	-0,048	2,5	0,833	0,313	0,650	2,5	1,042	0,227	0,292
3	0,828	4,286	-0,050	3	0,928	0,375	0,724	3	1,13	0,273	0,316
3,5	0,892	5,000	-0,054	3,5	0,994	0,438	0,775	3,5	1,161	0,318	0,325
4	0,938	5,714	-0,056	4	1,039	0,500	0,810	4	1,16	0,364	0,325
4,5	0,96	6,429	-0,058	4,5	1,057	0,563	0,824	4,5	1,132	0,409	0,317
5	0,978	7,143	-0,059	5	1,067	0,625	0,832	5	1,084	0,455	0,304
5,5	0,986	7,857	-0,059	5,5	1,067	0,688	0,832	5,5	1,032	0,500	0,289
6	0,982	8,571	-0,059	6	1,054	0,750	0,822	6	0,984	0,545	0,276
6,5	0,98	9,286	-0,059	6,5	1,043	0,813	0,814	6,5	0,948	0,591	0,265
7	0,979	10,000	-0,059	7	1,035	0,875	0,807	7	0,927	0,636	0,260
7,5	0,98	10,714	-0,059	7,5	1,025	0,938	0,800	7,5	0,922	0,682	0,258
8	0,985	11,429	-0,059	8	1,024	1,000	0,799	8	0,932	0,727	0,261
8,5	0,989	12,143	-0,059	8,5	1,022	1,063	0,797	8,5	0,951	0,773	0,266
9,5	1,004	13,571	-0,060	9,5	1,027	1,188	0,801	9,5	1	0,864	0,280
10	1,009	14,286	-0,061	10	1,027	1,250	0,801	10	1,02	0,909	0,286
10,5	1,013	15,000	-0,061	10,5	1,028	1,313	0,802	10,5	1,033	0,955	0,289
11	1,015	15,714	-0,061	11	1,025	1,375	0,800	11	1,039	1,000	0,291
11,5	1,016	16,429	-0,061	11,5	1,021	1,438	0,796	11,5	1,037	1,045	0,290
12	1,015	17,143	-0,061	12	1,015	1,500	0,792	12	1,027	1,091	0,288
13	1,012	18,571	-0,061	13	1,005	1,625	0,784	13	1,005	1,182	0,281
13,5	1,011	19,286	-0,061	13,5	1	1,688	0,780	13,5	0,995	1,227	0,279
14	1,011	20,000	-0,061	14	0,997	1,750	0,778	14	0,987	1,273	0,276
15	1,012	21,429	-0,061	15	0,995	1,875	0,776	15	0,983	1,364	0,275
16	1,015	22,857	-0,061	16	0,995	2,000	0,776	15,5	0,985	1,409	0,276
16,5	1,016	23,571	-0,061	16,5	0,995	2,063	0,776	16	0,99	1,455	0,277
17	1,016	24,286	-0,061	17	0,995	2,125	0,776	16,5	0,995	1,500	0,279
17,5	1,015	25,000	-0,061	17,5	0,995	2,188	0,776	17	0,999	1,545	0,280
18	1,015	25,714	-0,061	18	0,995	2,250	0,776	17,5	1,002	1,591	0,281
18,5	1,015	26,429	-0,061	18,5	0,994	2,313	0,775	18	1,004	1,636	0,281
19	1,015	27,143	-0,061	19	0,992	2,375	0,774	18,5	1,003	1,682	0,281
20	1,013	28,571	-0,061	20	0,991	2,500	0,773	20	1,003	1,818	0,281
20,5	1,012	29,286	-0,061	20,5	0,991	2,563	0,773	20,5	1,001	1,864	0,280
21	1,011	30,000	-0,061	21	0,992	2,625	0,774	21	0,999	1,909	0,280
22,5	1,011	32,143	-0,061	22,5	0,995	2,813	0,776	22	0,997	2,000	0,279
23	1,011	32,857	-0,061	23	0,997	2,875	0,778	23	0,997	2,091	0,279
23,5	1,01	33,571	-0,061	23,5	0,998	2,938	0,778	23,5	0,998	2,136	0,279
24	1,01	34,286	-0,061	24	0,999	3,000	0,779	24	0,999	2,182	0,280
24,5	1,009	35,000	-0,061	24,5	0,999	3,063	0,779	24,5	1	2,227	0,280
25	1,008	35,714	-0,060	25	0,999	3,125	0,779	25	1,001	2,273	0,280
25,5	1,008	36,429	-0,060	25,5	0,999	3,188	0,779	25,5	1,002	2,318	0,281
26	1,007	37,143	-0,060	26	0,999	3,250	0,779	26	1,002	2,364	0,281

Продолжение таблицы 7

Трапеция №4				Трапеция №5				Трапеция №6
d4 = 40 с-1				d5 = 25 с-1				d6 = 11 с-1
n4 = 77 с-1				n5 = 40 с-1				n6 = 15,81 с-1
P4 = -0,08				P5 = -0,1				P6 = 0,26
4 = 0,5				 = 0,6				 = 0,7
	h4()	t	h4(t)		h4()	t	h4(t)		h4()	t	h4(t)
0	0	0,000	0,000	0	0	0,000	0,000	0	0	0,000	0,000
0,5	0,24	0,006	-0,019	0,5	0,255	0,013	-0,026	0,5	0	0,032	0,000
1	0,461	0,013	-0,037	1	0,49	0,025	-0,049	1	0,267	0,063	0,069
1,5	0,665	0,019	-0,053	1,5	0,706	0,038	-0,071	1,5	0,519	0,095	0,135
2	0,833	0,026	-0,067	2	0,878	0,050	-0,088	2	0,74	0,127	0,192
2,5	0,967	0,032	-0,077	2,5	1,01	0,063	-0,101	2,5	0,919	0,158	0,239
3	1,061	0,039	-0,085	3	1,1	0,075	-0,110	3	1,042	0,190	0,271
3,5	1,115	0,045	-0,089	3,5	1,145	0,088	-0,115	3,5	1,13	0,221	0,294
4	1,142	0,052	-0,091	4	1,158	0,100	-0,116	4	1,161	0,253	0,302
4,5	1,138	0,058	-0,091	4,5	1,134	0,113	-0,113	4,5	1,16	0,285	0,302
5	1,118	0,065	-0,089	5	1,107	0,125	-0,111	5	1,132	0,316	0,294
5,5	1,092	0,071	-0,087	5,5	1,07	0,138	-0,107	5,5	1,084	0,348	0,282
6	1,051	0,078	-0,084	6	1,021	0,150	-0,102	6	1,032	0,380	0,268
6,5	1,018	0,084	-0,081	6,5	0,982	0,163	-0,098	6,5	0,984	0,411	0,256
7	0,993	0,091	-0,079	7	0,957	0,175	-0,096	7	0,948	0,443	0,246
7,5	0,974	0,097	-0,078	7,5	0,944	0,188	-0,094	7,5	0,927	0,474	0,241
8	0,966	0,104	-0,077	8	0,941	0,200	-0,094	8	0,922	0,506	0,240
8,5	0,966	0,110	-0,077	8,5	0,944	0,213	-0,094	8,5	0,932	0,538	0,242
9,5	0,975	0,123	-0,078	9,5	0,98	0,238	-0,098	9,5	0,951	0,601	0,247
10	0,982	0,130	-0,079	10	0,993	0,250	-0,099	10	1	0,633	0,260
10,5	0,987	0,136	-0,079	10,5	1,007	0,263	-0,101	10,5	1,02	0,664	0,265
11	0,993	0,143	-0,079	11	1,014	0,275	-0,101	11	1,033	0,696	0,269
11,5	0,997	0,149	-0,080	11,5	1,017	0,288	-0,102	11,5	1,039	0,727	0,270
12	0,997	0,156	-0,080	12	1,019	0,300	-0,102	12	1,037	0,759	0,270
13	0,997	0,169	-0,080	13	1,014	0,325	-0,101	13	1,027	0,822	0,267
13,5	0,998	0,175	-0,080	13,5	1,01	0,338	-0,101	13,5	1,005	0,854	0,261
14	1	0,182	-0,080	14	1,008	0,350	-0,101	14	0,995	0,886	0,259
15	1,005	0,195	-0,080	15	1,002	0,375	-0,100	15	0,987	0,949	0,257
16	1,011	0,208	-0,081	15,5	1	0,388	-0,100	15,5	0,983	0,980	0,256
16,5	1,011	0,214	-0,081	16	1,001	0,400	-0,100	16	0,985	1,012	0,256
17	1,012	0,221	-0,081	16,5	0,999	0,413	-0,100	16,5	0,99	1,044	0,257
17,5	1,009	0,227	-0,081	17	0,997	0,425	-0,100	17	0,995	1,075	0,259
18	1,008	0,234	-0,081	17,5	0,997	0,438	-0,100	17,5	0,999	1,107	0,260
18,5	1,006	0,240	-0,080	18	0,995	0,450	-0,100	18	1,002	1,139	0,261
19	1,001	0,247	-0,080	18,5	0,993	0,463	-0,099	18,5	1,004	1,170	0,261
20	0,996	0,260	-0,080	20	0,992	0,500	-0,099	20	1,003	1,265	0,261
20,5	0,995	0,266	-0,080	20,5	0,994	0,513	-0,099	20,5	1,003	1,297	0,261
21	0,995	0,273	-0,080	21	0,997	0,525	-0,100	21	1,001	1,328	0,260
22,5	0,997	0,292	-0,080	22	1,004	0,550	-0,100	22	0,999	1,392	0,260
23	0,998	0,299	-0,080	23	1,006	0,575	-0,101	23	0,997	1,455	0,259
23,5	0,999	0,305	-0,080	23,5	1,007	0,588	-0,101	23,5	0,997	1,486	0,259
24	1	0,312	-0,080	24	1,008	0,600	-0,101	24	0,998	1,518	0,259
24,5	1	0,318	-0,080	24,5	1,006	0,613	-0,101	24,5	0,999	1,550	0,260
25	1	0,325	-0,080	25	1,004	0,625	-0,100	25	1	1,581	0,260
24	1	0,312	-0,080	25,5	1,002	0,638	-0,100	25,5	1,001	1,613	0,260
24,5	1	0,318	-0,080	26	1	0,650	-0,100	26	1,002	1,645	0,261

6) По параметрам трапеции определяем составляющие переходной характеристики. Для каждой трапеции в таблице h– функций ([1], страница 222) отыскиваем столбец, соответствующий значению коэффициента наклона. Для ряда значений условного времениопределяем соответствующие им значения h(). По значениямиh() вычисляем значение действительного времени и соответствующиеh_iпереходной характеристики:

; (3.1.12)

Полученные значения tиh_iзаносим в таблицу 7.

7) Строим графики составляющих переходной характеристики (рисунок 17).

Рисунок 17 - Графики составляющих переходной характеристики

8) Строим график переходной характеристики (рисунок 18). Ординаты переходной характеристики определяем суммированием ординат составляющих в выбранные моменты времени.

Рисунок 18 - График переходной характеристики