Пособие_Физика_часть2
.pdf
Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно определить расчетом или экспериментально. В случае непрерывного распределения вещества (массы) в теле (ТТ) расчет сводится к вычислению интеграла по всему его объему V (массе) (мысленно разбиваем обычно однородное тело на материальные точки dm):
I = ∫r2dm . |
(3) |
V |
|
Аналитическое вычисление интегралов возможно лишь в простейших случаях – для тел правильной геометрической формы (цилиндр (стержень, кольцо, диск), параллелепипед, шар и т.д.), для тел неправильной формы интегралы находятся численно.
Вычисление моментов инерции во многих случаях можно упростить, используя соображения подобия и симметрии, а также теорему Гюйгенса-Штейнера (Х.Гюйгенс (1629–1699), Я. Штейнер (1796– 1863)) и ряд некоторых соотношений.
dm
r
r/
O a
A
Рис. 1
Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух неподвижных параллельных осей. Пусть оси перпендикулярны плоскости рисунка и проходят соответственно через точки О и А (все точки находятся в плоскости рис. 1). Используя теорему косинусов для данного треугольника, получают
|
|
|
|
(r/)2 =r2 +a2 |
→→ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
−2(ar), |
|
|
|
||||
тогда интеграл (3) примет вид |
|
|
|
|
→ → |
|
|
||||
/ |
) |
2 |
dm = ∫r |
2 |
dm + a |
2 |
∫dm − |
|
|||
∫(r |
|
|
|
2 a ∫r dm . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I A |
|
|
IO |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
Последнее слагаемое можно представить в виде |
∫r dm = m RC , где |
||||||||||
RC – составляющая радиуса-вектора центра масс С тела относительно оси О,
параллельная плоскости рисунка. Здесь следует вспомнить, что центр масс системы, состоящей из материальных точек, определяется по формуле
→
Лагранжа rC =
непрерывного
I A = IO + ma2
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
∑mi |
ri |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
для дискретного |
распределения |
массы, |
а в случае |
|||
∑m |
|
|||||||
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
распределения массы |
R→ |
= |
∫r dm |
. |
Таким |
образом, |
||
|
||||||||
|
|
|
C |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
→→
−2m(a RC ) . Если же ось О проходит через центр масс
тела, то третье слагаемое в правой части равно нулю и получают уравнение,
которое выражает теорему Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через его центр масс С, сложенному с величиной ma2, где а – расстояние между осями, m – масса тела.:
I A = IO + ma2 . |
(4) |
Далее вычисляют моменты инерции некоторых тел правильной формы.
1. Тонкий однородный стержень (длина l, масса m, линейная плотность τ=m/l=const):
а) ось вращения ОО/ проходит перпендикулярно стержню через его центр масс С (рис. 2).
O/ A/
l/2 |
|
l/2 |
|
||
|
|
||||
|
|||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|||||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
dm |
|
||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
||||
O |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
||
|
|
||||
|
|
||||
|
|||||
|
|
||||
|
|
||||
Рис. 2
В силу симметрии получают:
l / 2 |
l / 2 |
τ l |
3 |
ml2 |
; |
(5) |
I = 2 ∫r2dm = 2 ∫ r2 τ dr = |
12 |
= |
12 |
|||
0 |
0 |
|
|
|
||
б) ось вращения АА/ проходит перпендикулярно стержню через его конец. По теореме Гюйгенса-Штейнера (4) получают
|
ml 2 |
l 2 |
|
ml 2 |
|
|||
I = |
|
+m |
|
|
= |
|
|
|
|
|
3 . |
|
|||||
|
12 |
|
2 |
|
(6) |
|||
2. Однородные прямоугольная |
пластина и |
параллелепипед |
||||||
(линейные размеры a, b, c, масса m). Согласно теореме Пифагора и формулы
(1) для точки m (рис. 3) имеют
I |
x |
= m( y2 + z2 ) , I |
y |
= m(x2 + z2 ) , I |
z |
= m(x2 + y2 ) , |
|
|
|
|
|||
тогда их сумма равна: |
|
|
|
|
||
|
|
I x + I y + I z = 2m(x2 + y2 + z2 ) = 2mR2 . |
||||
Можно увидеть, что если рассматривать любые три взаимно |
||||||
перпендикулярныеоси, пересекающиеся в точке О, то моменты инерции Ix, Iy, Iz |
||||||
будут меняться, а их сумма останется постоянной. |
|
|
||||
Обозначив в случае дискретного распределения масс (система |
||||||
материальных точек) Φ = ∑mi Ri2 или для непрерывного распределения масс |
||||||
|
|
i |
|
|
|
|
(в твердом теле) Φ = ∫ R2dm , можно записать, что |
|
|||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
m(x,y,z) |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.3 |
|
|
|
|
Ix |
+ I y + Iz = 2Φ . |
|
(7) |
|
На основании вышеизложенного имеем: |
|
|
||||
а) если дана тонкая прямоугольная пластина, то можно считать, что |
||||||
вещество распределено тонким слоем по плоскости XOY, т.е. z-координаты |
||||||
всех точек ≈0. Тогда формула (7) примет вид |
|
|
||||
I x + I y + I z = 2m(x2 + y2 ) = 2I z , |
(8) |
следовательно
I x + I y = I z .
Y
b |
C |
X |
|
||
|
|
a |
Рис. 4
Так как дана тонкая однородная прямоугольная пластина, то представляют, что все вещество смещено (направление смещения обозначено стрелками на рис. 4) параллельно оси ОХ и сконцентрировано на оси ОY. При этом расстояния всех материальных точек до оси ОХ не изменятся. В результате получают тонкий однородный стержень массы m и длины b (случай 1, а), а с учетом формул (5) и (8):
I x = |
mb2 |
(аналогично I y = |
ma2 |
) I z = |
|
m |
(a2 + b2 ) . |
(9) |
12 |
12 |
|
|
|||||
12 |
||||||||
На рис. 4 ось OZ проходит через точку С и плоскости XOY – плоскости рисунка;
б) формула (9) справедлива и для однородного прямоугольного параллелепипеда. В этом можно убедиться, если мысленно сжать параллелепипед вдоль одной из его геометрических осей в тонкую пластинку. При этом масса его и расстояния всех точек до этой оси не
изменятся.
3. Однородное тонкое круглое кольцо (масса m, радиус R,). В силу
симметрии очевидно (рис. 5), что |
|
|
|
|
|
I z = mR2 , |
|
(10) |
|
а с учетом формулы (8) в силу симметрии |
|
|
|
|
|
I x = I y = |
mR |
2 |
|
Z |
2 |
. |
(11) |
|
dr |
|
Z |
||
C R |
|
R |
||
Y h |
|
|
||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5 |
|
|
|
Рис. 6 |
4. Однородный диск или сплошной цилиндр (масса m, радиус R,
объем V). Начало координат (пересечение) трех взаимно перпендикулярных осей располагают в центре масс цилиндра (можно аналогично случаю 2, а)
сместить все вещество вдоль оси ОZ, т.е. получить тонкий диск малой толщины h/, плотности ρ=m/V′, V′=π R2 h′ – объем после смещения, см. рис. 6), для которого
|
|
R |
R |
(π ρ hR2 )R2 |
|
mR2 |
|
|
I |
z |
= ∫r2dm =∫r2 (ρ h 2π rdr) = |
|
= |
|
. (12) |
||
2 |
2 |
|||||||
|
0 |
0 |
|
|
||||
Согласно уравнению (8) имеют
I x = I y = |
mR2 |
|
4 . |
(13) |
|
Z |
|
|
R |
|
|
C |
Y |
|
|
|
|
X |
|
|
Рис. 7 |
|
|
5. Полый шар с бесконечно тонкими однородными стенками
(сфера массы m, радиуса R). Расположим начало координат (пересечение) трех взаимно перпендикулярных осей в центре сферы, в ее центре масс С (рис. 7), тогда в силу симметрии и формулы (7):
|
I |
x |
= I |
y |
= I |
z |
= I = 2 mR2 . |
|
(14) |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
6. Сплошной однородный шар (масса m, радиус R, объем V). |
|||||||||
Расположим |
начало |
координат |
|
(пересечение) |
трех |
взаимно |
|||
перпендикулярных осей в центре шара и рассмотрим шар как совокупность тонких сфер. Момент инерции такого тонкого сферического слоя по формуле
(14) будет иметь вид |
|
|
|
dVсф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dI = |
2 |
r 2dm |
= |
2 |
r 2m |
= |
2 |
r 2m |
4π r 2dr |
= |
2mr 4 |
dr , |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
сф |
|
3 |
|
V |
|
3 |
|
|
4 |
π R3 |
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тогда момент инерции шара:
I = R |
2mr4 |
dr = |
2 |
mR2 . |
(15) |
|
5 |
||||
∫0 R3 |
|
|
|
||
В некоторых задачах используется понятие момента инерции относительно точки. Поскольку ориентация различных элементов тела (ТТ) относительно его произвольной точки должна задаваться тремя координатами, то его инертность должна характеризоваться набором 9 чисел – тензором инерции (в математике используются скаляры – одно число, векторы – тройки чисел и тензоры – запись их представляет собой матрицу III порядка).
Контрольные вопросы
1.Что называется вращательным движением тела?
2.Что называется моментом инерции материальной точки, системы материальных точек и твердого тела? Каков физический смысл момента инерции? В чем он измеряется?
3.Сформулируйте и запишите математически теорему ГюйгенсаШтейнера.
4.Проведите вычисление момента инерции для случаев твердых тел (не материальных точек) простой геометрической формы?
12. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ И ОСИ. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ И ОСИ. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА. ГИРОСКОП
Вращение является составляющей большинства рассматриваемых в механике движений. Каждый день мы являемся свидетелями великого космического вращения. Данные последних теоретических исследований говорят, что всё вокруг и мы сами по свойствам напоминаем вращающиеся с большой частотой поля.
Динамические характеристики – момент силы и момент импульса,
используемые при описании вращательного движения, играют в теории вращательного движения такую же большую роль, какую сила и импульс играют в динамике поступательного движения.
Рис. 1
Известно, что передвинуть массивный предмет (например, ящик) вручную тяжело, гораздо легче передвинуть его с помощью длинной палки, трубы (лома), т.е. перекантовать с помощью рычага, причем, чем длинней этот рычаг, тем легче это сделать (прикладывается меньшая сила при большей длине рычага (см. рис. 1)). Вспомним знаменитое изречение
Архимеда (ок. 286–212 гг. до н.э.): «Дайте мне точку опоры (и рычаг) и я переверну Землю».
Другой пример – взвешивание предметов на весах (рис. 2): при равных плечах (силы) весов li перевесит тот груз, масса которого mi больше, а если массы грузов равны, то перевесит груз, для которого плечо силы li больше.
Следует различать момент силы и момент импульса относительно точки и относительно оси, в первом случае – это вектора, а во втором – проекции векторов (скаляры).
Пусть дана точка ОG(полюс), относительно которой находится момент
силы. Моментом силы F относительно точки О называется векторное произведение (вектор) радиуса-вектора r , проведенного из точки О в точку А приложения силы на векторF :
M = [rF ] |
(1) |
l1 l2
m1g
m2g
Рис. 2
Рис. 3
Модуль момента силы:
M = rF sinα = Fl , |
(2) |
где l=rsinα – кратчайшее расстояние до линии АВ действия силы (рис. 3), называемое плечомсилы l.
При этом вектор M не изменится, если точку приложения силы F перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы, например, в точку А/. При этом параллелограмм ОАВС перейдет в параллелограмм ОА/В/С. Оба параллелограмма имеют одинаковые основание и высоту, аследовательно, и площадь.
В отличие от полярных векторов ν , аG, рG, F (именно их изучают в
школе), вектора, характеризующие вращательное движение
→ → → → →
d ϕ ,ω, ε , M , L , не имеют конкретной точки приложения (см. вопрос 2 данного пособия), их называют скользящими. Так, вектор M можно откладывать от любой точки параллельно одному из направлений, полученному в результате векторного произведения (по свойствам
векторного произведения M перпендикулярно плоскости, в которой лежат
→ → → →
два перемножаемых вектора – M r , M F ), направление вектора M совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от вектора rGк F (в математике термин – «левая тройка»).
Главным моментом M нескольких внешних сил, действующих на систему, относительно точки О называется сумма моментов их относительно этой точки (принцип независимости действия сил):
→ |
→ |
|
→ → |
→ |
→ |
, |
(3) |
M = ∑ M i = ∑ r Fi |
= r Fрезультир |
||||||
|
i |
i |
|
|
|
|
|
где силы FGi считают приложенными к одной точке О, что можно получить путем параллельного переноса векторов Fi (часто в механике для удобства при решении задач силы рассматривают как приложенныеG к центру масс тела, хотя это не для всех сил так, пример – сила трения Fтр приложена к
поверхности тела).
При вращении ТТ (системы материальных точек) необходимо учитывать только внешние силы, так как внутренние силы взаимодействия двух любых элементов ТТ (системы) всегда равны по модулю (величине) и противонаправлены вдоль одной прямой (их векторная (геометрическая) сумма равна нулю).
Моментом силы относительно некоторой оси OZ (рис. 3) называется скаляр – проекция вектора M на эту ось (Mz).
Ось, положение которой в пространстве остается неизменным при вращении вокруг нее тела в отсутствии внешних сил, называется свободной осью тела. Можно показать, что для тела любой формы и с произвольным распределением массы существуют три взаимно перпендикулярные,
проходящие через центр инерции (масс) тела, оси, которые могут служить свободными осями – они называются главными осями инерции тела
(пример: вращение детского волчка или юлы произвольной формы).
Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.
Аналогично вышесказанному можно определить момент импульса относительноточки(вектор L ) иотносительнооси(проекциявектораLz):
→ |
→ → |
→ → |
, |
(4) |
L |
= r p |
= m r v |
||
|
|
|
|
|
где pG = mνG – импульс (материальной) точки А. Важно отметить, что моментом импульса относительно точки может обладать и тело, движущееся поступательно (достаточно наличие импульса и плеча). Тело, обладающее импульсом, может не обладать моментом импульса относительно одних точек (в отсутствие плеча) и обладать относительно других.
|
Единицы |
измерения |
[М]=Н м |
(не |
путать с |
[А]=Дж=Н м), |
а |
||||||||||||||||||||
[L]= |
кг м2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
с |
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и p = mν |
|
|
но |
|||||||
|
В общем случае F 7/ 7/ |
v (неколлинеарна) |
, т.е. и M 7/ 7/ |
L , |
|||||||||||||||||||||||
если полюс (точка) О неподвижен, то импульс |
р точки А сонаправлен с ее |
||||||||||||||||||||||||||
скоростью νG = (rG)' |
, тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M = r F |
= r |
dp |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
||
→ / |
→ → |
|
d |
→ → |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dr |
→ |
→ dp |
→ dp |
|
|
|
|||||||||||||||
т.к. L |
= r p |
|
= |
|
|
r p |
= |
|
|
|
|
|
|
p |
+ r |
|
|
= r |
|
, |
|
|
|||||
dt |
|
|
|
dt |
dt |
dt |
|
|
|||||||||||||||||||
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
→ → |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v p |
=m v v |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тоестьполучаютосновноеуравнениединамикивращательногодвижения: |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Этот закон остается справедливым и для системы материальных точек, в этом случае
→ |
→ |
→ |
→ |
|
L |
= ∑Li |
и M = ∑M i . |
(6) |
|
|
i |
|
i |
|
Особенность вращения ТТ, по сравнению с системой несвязанных друг с другом материальных точек, заключается в том, что при вращении ТТ вокруг неподвижной оси всеGего элементы движутся по окружностям, причем угловая скорость вращения ω для них одинакова (а линейная скорость – различная).
Поэтому естественным будет выразить вектор L через скорость ωG.
O/
C |
m1 r ri |
mi |
C r2
m2
O
Рис. 4
Разобьем ТТ (рис. 4), вращающееся относительно оси ОО/, на элементы (материальные точки). Момент импульса каждого элемента:
→ |
→ |
→ |
Li = ri |
mi vi . |
|
|
|
|
→→ →
Сучетом равенства v = r ω (см. вопрос 2 данного пособия)
|
→ |
|
|
|
|
→ |
→ |
→ → |
= |
→ |
→ → |
Li = ri |
mi ω ri |
mi ri ω ri . |
|||
|
|
|
|
|
|
Вматематикеизвестно, чтодвойноевекторноепроизведениеимеет вид
→ → → |
→ |
→ → |
→ |
→ → |
, |
a b c |
= b a c |
− c a b |
|||
|
|
|
|
|
|
→ → → |
|
→ |
→ → |
→ |
→ → |
= |
||
т.е. ri ω ri |
|
= ω ri ri |
− ri |
ω ri |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
→ →
=0, ω ri
→
ri2 ω .
Таким образом,
→ |
= ( |
→ |
I |
→ |
|
|
L |
m r2 )ω = |
ω |
, |
(7) |
||
i |
|
i i |
i |
|
|
|