1-приложения производных
.docxМинистерство образования и науки
Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Волгодонский инженерно-технический институт – филиал НИЯУ МИФИ
Приложение производной.
Индивидуальные задания.
Волгодонск
2011
УДК 811.111-36 (076.5)
Рецензент д.т.н., проф. Сысоев Ю.С.
Шпонарская С.Н., Батаков А.И., Гладун К.К., Лисичкина О.М. Приложение производной. Индивидуальные задания: учеб.-метод. пособие/ С.Н. Шпонарская, А.И. Батаков, К.К. Гладун, О.М. Лисичкина. – Волгодонский инженерно-технический институт (ф) НИЯУ МИФИ.
Предназначено для студентов 1-го курса всех специальностей.
© ВИТИ НИЯУ МИФИ, 2011
© Коллектив авторов, 2011
1.
Составить уравнение касательной и
нормали к графику функции
в точке с абсциссой
.
|
1.
|
2.
|
|
3.
|
4.
|
|
5.
|
6.
|
|
7.
|
8.
|
|
9.
|
10.
|
|
11.
|
12.
|
|
13.
|
14.
|
|
15.
|
16.
|
|
17.
|
18.
|
|
19.
|
20.
|
|
21.
|
22.
|
|
23.
|
24.
|
|
25.
|
26.
|
|
27.
|
28.
|
|
29.
|
30.
|
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
,
,
.
2. Вычислить пределы функций, используя правило Лопиталя.
1.
а)
,
б)
,
в)
;
2.
а)
,
б)
,
в)
;
3.
а)
,
б)
,
в)
;
4.
а)
,
б)
,
в)
;
5.
а)
,
б)
,
в)
;
6.
а)
,
б)
,
в)
;
7.
а)
,
б)
,
в)
;
8.
а)
,
б)
,
в)
;
9.
а)
,
б)
,
в)
;
10.
а)
,
б)
,
в)
;
11.
а)
,
б)
,
в)
;
12.
а)
,
б)
,
в)
;
13.
а)
,
б)
,
в)
;
14.
а)
,
б)
,
в)
;
15.
а)
,
б)
,
в)
;
16.
а)
,
б)
,
в)
;
17.
а)
,
б)
,
в)
;
18.
а)
,
б)
,
в)
;
19.
а)
,
б)
,
в)
;
20.
а)
,
б)
,
в)
;
21.
а)
,
б)
,
в)
;
22.
а)
,
б)
,
в)
;
23.
а)
,
б)
,
в)
;
24.
а)
,
б)
,
в)
;
25.
а)
,
б)
,
в)
;
26.
а)
,
б)
,
в)
;
27.
а)
,
б)
,
в)
;
28.
а)
,
б)
,
в)
;
29.
а)
,
б)
,
в)
;
30.
а)
,
б)
,
в)
.
3.
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
на заданном отрезке
.
|
1.
|
2.
|
|
3. |
4.
|
|
5.
|
6.
|
|
7.
|
8.
|
|
9.
|
10.
|
|
11.
|
12. |
|
13. |
14.
|
|
15.
|
16. |
|
17.
|
18. |
|
19.
|
20.
|
|
21.
|
22.
|
|
23.
|
24.
|
|
25.
|
26.
|
|
27.
|
28.
|
|
29.
|
30.
|
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
.
4. Решить следующую задачу.
1. Число 30 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно из них было в 4 раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было бы наибольшим.
2. Разрежьте отрезок длиной 30 см на две части так, чтобы взяв их за катеты, получить прямоугольный треугольник с наименьшей гипотенузой.
3. В прямоугольный треугольник с катетами, равными 4 см и 8 см, вписан прямоугольник, стороны которого параллельны катетам. Найти стороны прямоугольника, при которых его площадь наибольшая.
4. Число 16 разложите на два положительных слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
5. Число 20 разложите на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
6. Найти такое положительное число, разность между кубом и квадратом которого является наименьшей.
7. В треугольник с основанием 4 см и высотой 2 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти площадь прямоугольника.
8. Число 21 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно из них было в 6 раз больше другого, а произведение всех трех слагаемых было бы наибольшим.
9. Число 28 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба первого и квадрата второго слагаемого была наименьшей.
10. Разрежьте отрезок длиной 12 см на две части так, чтобы взяв их за катеты, получить прямоугольный треугольник с наименьшей гипотенузой.
11. В прямоугольный треугольник с катетами, равными 16 см и 8 см, вписан прямоугольник, стороны которого параллельны катетам. Найти стороны прямоугольника, при которых его площадь наибольшая.
12. Число 20 разложите на два положительных слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
13. Число 30 разложите на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
14. В треугольник с основанием 8 см и высотой 4 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти площадь прямоугольника.
15. Число 45 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно из них было в 2 раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было бы наибольшим.
16. Разрежьте отрезок длиной 16 см на две части так, чтобы взяв их за катеты, получить прямоугольный треугольник с наименьшей гипотенузой.
17. Число 30 разложите на два положительных слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
18. Число 40 разложите на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
19. Число 45 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно из них было в 14 раз больше другого, а произведение всех трех слагаемых было бы наибольшим.
20. Из всех прямоугольников площадью 16 см2 найти прямоугольник с наименьшим периметром.
21. Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.
22. Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
23. Из всех прямоугольников, площадь которых равна 9 см2, найти прямоугольник с наименьшим периметром.
24. Забором данной длины L требуется огородить наибольшую по площади прямоугольную площадку. Найти размеры прямоугольника.
25. Число 48 представить в виде суммы двух слагаемых, так чтобы их произведение было наибольшим.
26. Число 64 представить в виде произведения двух положительных сомножителей так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
27. Число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы их сумма была наименьшей.
28. Из всех прямоугольников с периметром 80 см найти прямоугольник с наименьшей диагональю.
29. Число 48 записать в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба одного из них и квадрата другого была наименьшей.
30. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 15 см. Найти их длины так, чтобы гипотенуза была наименьшей.
5. Провести полное исследование функции и построить её график.
1.а)
,
б)
,
в)
;
2.а)
,
б)
,
в)
;
3.а)
,
б)
,
в)
;
4.а)
,
б)
,
в)
;
5.а)
,
б)
,
в)
;
6.а)
,
б)
,
в)
;
7.а)
,
б)
,
в)
;
8.а)
,
б)
,
в)
;
9.а)
,
б)
,
в)
;
10.а)
,
б)
,
в)
;
11.а)
,
б)
,
в)
;
12.а)
,
б)
,
в)
;
13.а)
,
б)
,
в)
;
14.а)
,
б)
,
в)
;
15.а)
,
б)
,
в)
;
16.а)
,
б)
,
в)
;
17.а)
,
б)
,
в)
;
18.а)
,
б)
,
в)
;
19.а)
,
б)
,
в)
;
20.а)
,
б)
,
в)
;
21.а)
,
б)
,
в)
;
22.а)
,
б)
,
в)
;
23.а)
,
б)
,
в)
;
24.а)
,
б)
,
в)
;
25.а)
,
б)
,
в)
;
26.а)
,
б)
,
в)
;
27.а)
,
б)
,
в)
;
28.а)
,
б)
,
в)
;
29.а)
,
б)
,
в)
;
30.а)
,
б)
,
в)
.