Признак сходимости Даламбера

Дан ряд с положительными членами и

Если - сходиться

Если - расходиться

Если - вопрос о сходимости не решен.

Доказательство:

, начиная с которого

1) Пусть D<1 выберем настолько малым, чтобы

обозначим

рассмотрим правую часть

Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии , т.к. ряд q<1этот ряд сходится.

Т.к. исходный ряд меньше сходящегося ряда из членов меньшего ряда, то исходный ряд сходится по I признаку сравнения.

2) Пусть D>1 выберем настолько малым, чтобы >1<(D-)

из левой части >

следовательно, члены ряда растут не стремится к 0 , ряд расходится по достаточному признаку расходимости.

3) D=1

Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда – расходится и - сходится.

Для D=

Для D=

При D=1 ряд может сходиться или расходиться и вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Конец доказательства.

Примеры:

1)

2)

3)

Радикальный признак Коши.

Дан ряд с положительными членами и

Если - сходиться

Если - расходиться

Если - вопрос о сходимости не решен

Доказательство:

по определению , начиная с которого

1) Пусть С<1 выберем настолько малым, чтобы , тогда из правой части <, ряд , где q<1 сходится как ряд из членов геометрической прогрессии, со знаменателем <1, тогда исходный ряд сходится по I признаку сравнения, т.к его члены меньше членов сходящегося ряда.

2) Пусть С>1 выберем настолько малым, чтобы >1 из левой части >;(q>1) расходится, как ряд из членов геометрической прогрессии, расходится по I признаку сравнения, т.к его члены больше членов сходящегося ряда.

3)С=1

Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда – расходится (p=1) и -сходится (p=2>1) и покажем, что С=1.

Таким образом, при С=1 ряд может как сходится так и расходится.

Конец доказательства.

Примеры:

1)

2)

3)

Интегральный признак Коши.

Дан ряд с положительными членами , что () и функция f(x) – положительная и убывающая, связанная с рядом равенством f(n)= . Тогда несобственный интеграл и сходится и расходится одновременно.

Доказательство:

f(n)=U_n

_n

S ступенчатой фигуры над рядом (f(x))

- n частичная сумма ряда.

S ступенчатой фигуры под графиком функции f(x)

- n+1 частичная сумма ряда.

очевидно неравенство

Пусть несобственный интеграл сходится

Из левой части <числа - ограничена сверху числом - сходится.

Пусть расходится из правой части (*) неограничен ряд расходится.

Конец доказательства.

Докажем, с помощью интегрального признака Коши, что обобщенно-гармонический ряд:

свяжем с эти рядом несобственный интеграл

(доказано в несобственном интеграле) исходный несобственный интеграл сходится или расходится одновременно.

Примеры:

1)

2)

Знакочередующиеся числовые ряды

Ряд вида , где U_n>0 называется знакочередующимся числовым рядом. U_n – общий член. Положительный и отрицательный член ряда чередуются по знакам через один.

Для знакочередующихся числовых рядов справедлива теорема Лейбница – достаточное условие сходимости такого ряда.

Теорема Лейбница: Дан знакочередующийся числовой ряд - члены которого:

1) Убывают ()

2) , т.е

ряд сходится и его сумма S удовлетворяет неравенству 0<S< U₁

Доказательство:

Рассмотрим четную частичную сумму ряда:

>0

перепишем по другому

Последовательность четных частичных сумм возрастает и ограничена сверху U₁, поэтому существует (по теореме о предельном переходе в неравенствах: 0<S< U₁)

Рассмотрим нечетную частичную сумму ряда

перейдём к

Конец доказательства.

Следствие: т.к , где - n-ый остаток ряда, т.е. с помощью теоремы Лейбница появляется возможность оценить погрешность (остаток ) возникающую при замене суммы ряда его частичной суммой.

Т.к n остаток ряда - тоже является рядом из чередующихся чисел, то

Определение: Числовые ряды, в которых члены произвольны по знакам называется знакопеременными рядами. Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Для знакопеременных рядов очень трудно установить сходимость, но можно рассмотреть ряд из модулей (отбросить знаки). Такой ряд будет знакоположительным.

Для знакопеременного ряда справедлива следующая теорема:

Пусть - знакопеременный числовой ряд. Ряд из - соответствующий ему ряд из модулей.

Если сходится то и тоже сходится.

Доказательство: обозначим - сумма положительных слагаемых

сумма отрицательных слагаемых.

n частичная сумма ряда из модулей.

Т.к ряд сходящийся, то и

Рассмотрим n частичную сумму ряда

- сходится.

Определение: Дан знакопеременный числовой ряд Если ряд из модулей-сходится, то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся. Если -расходится, а ряд все таки сходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

При исследовании знакопеременного ряда на абсолютную сходимость нужно проверить следующие условия:

1), если не стремится, то ряд расходится и исследование окончено.

2)На абсолютную сходимость

заменим рядом из модулей. К ряду из модулей можно применять I и II признаки сравнения, признаки Даламбера, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши.

Если ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Исследование можно закончить.

3) На условную сходимость по теореме Лейбница: и

Примеры:

1)

2)

3)