Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Волгодонский инженерно-технический институт - филиал нияу мифи
Конспект лекций
по теме:
«Числовые ряды»
Волгодонск
2010
Числовые ряды
Определение: Рассмотрим бесконечную числовую последовательность:
числовым рядом называется выражение , где – общий член ряда.
Пример:
-знакоположительный ряд
-знакочередующийся ряд
Последовательность , где ;; - последовательность частичных сумм ряда.
Каждая частичная сумма содержит конечное число слагаемых.
Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный
, то ряд называется расходящимся и суммы S не имеют.
1)Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии.
, где n – частичная сумма ряда - сумма n первых членов геометрической прогрессии.
Рассмотрим 3 случая:
1) геометрическая прогрессия убывающая.
сходится и имеет сумму
2)
3)
= не существует – ряд расходится.
Вывод: ряд из членов геометрической прогрессии сходится если и расходится
Элементарные свойства рядов
1) Если (1) сходится и имеет сумму S, то (2) тоже сходится, и имеет сумму CS, где С-const.
Доказательство: Пусть , n– ая частичная сумма 1 ряда.
, n–ая частичная сумма 2 ряда.
Т.к 1 ряд сходится, то .
Рассмотрим (2) ряд сходится.
Конец доказательства.
2) Если (1) сходится с суммой S1, и (2) сходится с суммой S2.
тоже сходится с суммой .
Доказательство:
Обозначим - n – частичная сумма 1 ряда.
- n – частичная сумма 2 ряда.
Рассмотрим n-ую частичную сумму ряда
и сумма .
Конец доказательства.
3) Любой ряд может быть представлен в виде:
, где - n – частичная сумма
- n – остаток ряда.
n – остаток ряда тоже является рядом.
Если , то и его остаток тоже сходится.
Доказательство: доказательство этого факта следует из того, что сумма ряда и сумма его остатка отличаются друг от друга на конечное число cлагаемых.
Конец доказательства.
Следствие: на сходимость ряда не влияет отбрасывание или приписывание в начало ряда конечного числа членов, например: 1+3+9+27+…
Дописывание :
1/9+1/3+1+3+9+27+.. отбрасывание: 1+3+5+7+9+11
4) Если сходится с суммой S.
Общий вывод: на практике необязательно выяснять сходимость ряда по определению (вычисляя сумму S). Достаточно просто знать сходится этот ряд или расходится, поэтому, основное место в теории рядов занимают теоремы – признаки сходимости, которые позволяют исследовать ряд на сходимость, не вычисляя его суммы.
Признаки сходимости
Необходимый признак сходимости:
Если сходится, то общий член
Доказательство: Пусть - n – частичная сумма.
- число.
При ,тоже и - n-1 – частичная сумма.
Она имеет предел .
Т.к
конец доказательства.
Необходимый признак сходимости неудобен на практике, т.к по поведению общего члена Un на бесконечности нельзя судить о сходимости ряда.
На практике удобно пользоваться достаточным признаком расходимости ряда:
Если не стремится к 0 при
Примеры:
1)
2)
Числовые ряды с положительными членами
Рассмотрим знакоположительный числовой ряд , где .Последовательность частичных сумм такого ряда будет всегда возрастающей:
На 1 курсе была доказана теорема о том, что: монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху имеет конечный предел.
- число.
Для знакоположительного ряда достаточно доказать, что, последовательность частичных сумм ограничена сверху числом (возрастание и так есть).
1й признак сравнения
Дано 2 ряда с положительными членами(1) и (2) и начиная с некоторого номера N выполняется неравенство , тогда если (2) сходится то и (1) сходится. Если (1) расходится то и (2) тоже расходится, (ряд меньший сходящегося тоже сходится, ряд больший расходящегося тоже расходится).
Доказательство: Обозначим через - n – частичная сумма 1 ряда и - n – частичная сумма 2 ряда.
Т.к . Пусть 2 ряд сходится, тогда , причём ограничена сверху числом (1) сходится.
Пусть 1 ряд расходится , т.к расходится.
Конец доказательство.
Замечание: при доказательстве этого признака мы считали, что неравенство выполняется с 1 номера. Этот факт не влияет на сходимость, т.к по свойству рядов отбрасывание n – первых членов ряда на сходимость ряда не влияет.
Для сравнения необходим стандартный набор рядов, о сходимости всё известно. К таким рядам относятся:
Ряды для сравнения: |
|
Ряды членов геометрической прогрессии: |
Обобщенно гармонический ряд:
(строгое доказательство будет проведено после интегрального признака сходимости) |
Примеры:
1)
2)
3)
II признак сравнения (предельный)
Дано 2 ряда с положительными членами(1) и (2) и - число (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.
Доказательство:
- число по определению предела последовательности:
с которого
Пусть (2) сходится , тогда сходится и
Из правой части следует, что (1) ряд меньше сходящегося ряда по 1 признаку сравнения (1) сходится
Пусть (2) расходится выберем настолько малым, чтобы оставалось >0, для знакоположительности ряда - расходится. Из левой части (*) (1) ряд>ряда расходящегося по I признаку сравнения (1) ряд расходится.
Конец доказательства.
Примеры:
1)
2)
3)