Конспект лекций по
Числовым рядам
Числовые ряды
Определение: Рассмотрим бесконечную числовую последовательность:
числовым рядом называется выражение , где – общий член ряда.
Пример:
-знакоположительный ряд
-знакочередующийся ряд
Последовательность , где;; - последовательность частичных сумм ряда.
Каждая частичная сумма содержит конечное число слагаемых.
Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный
, то ряд называется расходящимся и суммы S не имеют.
1)Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии.
,где n – частичная сумма ряда - суммаn первых членов геометрической прогрессии.
Рассмотрим 3 случая:
1) геометрическая прогрессия убывающая.
сходится и имеет сумму
2)
3)
= не существует – ряд расходится.
Вывод: ряд из членов геометрической прогрессии сходится если и расходится
Элементарные свойства рядов
1) Если (1)сходится и имеет сумму S, то (2)тоже сходится, и имеет сумму CS, где С-const.
Доказательство: Пусть ,n– ая частичная сумма 1 ряда.
, n–ая частичная сумма 2 ряда.
Т.к 1 ряд сходится, то .
Рассмотрим (2) ряд сходится.
Конец доказательства.
2) Если (1) сходится с суммой S1, и (2) сходится с суммой S2.
тоже сходится с суммой .
Доказательство:
Обозначим -n – частичная сумма 1 ряда.
- n – частичная сумма 2 ряда.
Рассмотрим n-ую частичную сумму ряда
и сумма.
Конец доказательства.
3) Любой ряд может быть представлен в виде:
,где -n – частичная сумма
- n – остаток ряда.
n – остаток ряда тоже является рядом.
Если ,то и его остаток тоже сходится.
Доказательство: доказательство этого факта следует из того, что сумма ряда и сумма его остатка отличаются друг от друга на конечное число cлагаемых.
Конец доказательства.
Следствие: на сходимость ряда не влияет отбрасывание или приписывание в начало ряда конечного числа членов, например: 1+3+9+27+…
Дописывание :
1/9+1/3+1+3+9+27+.. отбрасывание: 1+3+5+7+9+11
4) Если сходится с суммой S.
Общий вывод: на практике необязательно выяснять сходимость ряда по определению (вычисляя сумму S). Достаточно просто знать сходится этот ряд или расходится, поэтому, основное место в теории рядов занимают теоремы – признаки сходимости, которые позволяют исследовать ряд на сходимость, не вычисляя его суммы.
Признаки сходимости
Необходимый признак сходимости:
Если сходится, то общий член
Доказательство: Пусть -n – частичная сумма.
-число.
При ,тожеи-n-1 – частичная сумма.
Она имеет предел .
Т.к
конец доказательства.
Необходимый признак сходимости неудобен на практике, т.к по поведению общего члена Un на бесконечности нельзя судить о сходимости ряда.
На практике удобно пользоваться достаточным признаком расходимости ряда:
Если не стремится к 0 при
Примеры:
1)
2)
Числовые ряды с положительными членами
Рассмотрим знакоположительный числовой ряд , где.Последовательность частичных сумм такого ряда будет всегда возрастающей:
На 1 курсе была доказана теорема о том, что: монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху имеет конечный предел.
-число.
Для знакоположительного ряда достаточно доказать, что, последовательность частичных сумм ограничена сверху числом (возрастание и так есть).