12

Конспект лекций по

Числовым рядам

Числовые ряды

Определение: Рассмотрим бесконечную числовую последовательность:

числовым рядом называется выражение , где – общий член ряда.

Пример:

-знакоположительный ряд

-знакочередующийся ряд

Последовательность , где;; - последовательность частичных сумм ряда.

Каждая частичная сумма содержит конечное число слагаемых.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный

, то ряд называется расходящимся и суммы S не имеют.

1)Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии.

,где n – частичная сумма ряда - суммаn первых членов геометрической прогрессии.

Рассмотрим 3 случая:

1) геометрическая прогрессия убывающая.

сходится и имеет сумму

2)

3)

= не существует – ряд расходится.

Вывод: ряд из членов геометрической прогрессии сходится если и расходится

Элементарные свойства рядов

1) Если (1)сходится и имеет сумму S, то (2)тоже сходится, и имеет сумму CS, где С-const.

Доказательство: Пусть ,n– ая частичная сумма 1 ряда.

, n–ая частичная сумма 2 ряда.

Т.к 1 ряд сходится, то .

Рассмотрим (2) ряд сходится.

Конец доказательства.

2) Если (1) сходится с суммой S₁, и (2) сходится с суммой S₂.

тоже сходится с суммой .

Доказательство:

Обозначим -n – частичная сумма 1 ряда.

- n – частичная сумма 2 ряда.

Рассмотрим n-ую частичную сумму ряда

и сумма.

Конец доказательства.

3) Любой ряд может быть представлен в виде:

,где -n – частичная сумма

- n – остаток ряда.

n – остаток ряда тоже является рядом.

Если ,то и его остаток тоже сходится.

Доказательство: доказательство этого факта следует из того, что сумма ряда и сумма его остатка отличаются друг от друга на конечное число cлагаемых.

Конец доказательства.

Следствие: на сходимость ряда не влияет отбрасывание или приписывание в начало ряда конечного числа членов, например: 1+3+9+27+…

Дописывание : 1/9+1/3+1+3+9+27+.. отбрасывание: 1+3+5+7+9+11

4) Если сходится с суммой S.

Общий вывод: на практике необязательно выяснять сходимость ряда по определению (вычисляя сумму S). Достаточно просто знать сходится этот ряд или расходится, поэтому, основное место в теории рядов занимают теоремы – признаки сходимости, которые позволяют исследовать ряд на сходимость, не вычисляя его суммы.

Признаки сходимости

Необходимый признак сходимости:

Если сходится, то общий член

Доказательство: Пусть -n – частичная сумма.

-число.

При ,тожеи-n-1 – частичная сумма.

Она имеет предел .

Т.к

конец доказательства.

Необходимый признак сходимости неудобен на практике, т.к по поведению общего члена U_n на бесконечности нельзя судить о сходимости ряда.

На практике удобно пользоваться достаточным признаком расходимости ряда:

Если не стремится к 0 при

Примеры:

1)

2)

Числовые ряды с положительными членами

Рассмотрим знакоположительный числовой ряд , где.Последовательность частичных сумм такого ряда будет всегда возрастающей:

На 1 курсе была доказана теорема о том, что: монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху имеет конечный предел.

-число.

Для знакоположительного ряда достаточно доказать, что, последовательность частичных сумм ограничена сверху числом (возрастание и так есть).