1Й признак сравнения

Дано 2 ряда с положительными членами(1) и (2) и начиная с некоторого номера N выполняется неравенство , тогда если (2)сходится то и (1) сходится. Если (1) расходится то и (2) тоже расходится, (ряд меньший сходящегося тоже сходится, ряд больший расходящегося тоже расходится).

Доказательство: Обозначим через -n – частичная сумма 1 ряда и -n – частичная сумма 2 ряда.

Т.к . Пусть 2 ряд сходится, тогда,причём ограничена сверху числом(1)сходится.

Пусть 1 ряд расходится , т.к расходится.

Конец доказательство.

Замечание: при доказательстве этого признака мы считали, что неравенство выполняется с 1 номера. Этот факт не влияет на сходимость, т.к по свойству рядов отбрасываниеn – первых членов ряда на сходимость ряда не влияет.

Для сравнения необходим стандартный набор рядов, о сходимости всё известно. К таким рядам относятся:

Ряды для сравнения:
Ряды членов геометрической прогрессии:	Обобщенно гармонический ряд: (строгое доказательство будет проведено после интегрального признака сходимости)

Примеры:

1)

2)

3)

II признак сравнения (предельный)

Дано 2 ряда с положительными членами(1) и (2) и -число (1) и (2)сходятся и расходятся одновременно.

Доказательство:

- число по определению предела последовательности:

с которого

Пусть (2) сходится , тогда сходится и

Из правой частиследует, что (1) ряд меньше сходящегося рядапо 1 признаку сравнения(1) сходится

Пусть (2) расходится выберемнастолько малым, чтобыоставалось >0, для знакоположительности ряда - расходится. Из левой части (*)(1) ряд>ряда расходящегося поI признаку сравнения (1) ряд расходится.

Конец доказательства.

Примеры:

1)

2)

3)

Признак сходимости Даламбера

Дан ряд с положительными членами и

Если - сходиться

Если - расходиться

Если - вопрос о сходимости не решен .

Доказательство:

, начиная с которого

1) Пусть D<1 выберем настолько малым, чтобы

обозначим

рассмотрим правую часть

Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии ,т.к ряд q<1этот рядсходится.

Т.к исходный ряд меньше сходящегося ряда из членов меньшего ряда то исходный ряд сходится по I признаку сравнения.

2) Пусть D>1 выберем настолько малым, чтобы >1<(D-)

из левой части >

следовательно члены ряда растут нестремится к 0 , ряд расходится по достаточному признаку расходимости.

3) D=1

Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда – расходится и- сходится.

Для D=

Для D=

При D=1 ряд может сходится или расходится и вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Конец доказательства.

Примеры:

1)

2)

3)

Радикальный признак Коши.

Дан ряд с положительными членами и

Если - сходиться

Если - расходиться

Если - вопрос о сходимости не решен

Доказательство:

по определению , начиная с которого

1) Пусть С<1 выберем настолько малым, чтобы,тогда из правой части <,ряд , гдеq<1 сходится как ряд из членов геометрической прогрессии, со знаменателем <1, тогда исходный ряд сходится по I признаку сравнения, т.к его члены меньше членов сходящегося ряда.

2) Пусть С>1 выберем настолько малым, чтобы >1из левой части>;(q>1) расходится, как ряд из членов геометрической прогрессии, расходится по I признаку сравнения, т.к его члены больше членов сходящегося ряда.

3)С=1

Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда – расходится (p=1) и -сходится (p=2>1) и покажем, что С=1.

Таким образом при С=1 ряд может как сходится так и расходится.

Конец доказательства.

Примеры:

1)

2)

3)

Интегральный признак Коши.

Дан ряд с положительными членами , что() и функцияf(x) – положительная и убывающая, связанная с рядом равенством f(n)=.Тогда несобственный интеграл исходится и расходится одновременно.

Доказательство:

f(n)=U_n

_n

S ступенчатой фигуры над рядом (f(x))

- n частичная сумма ряда.

S ступенчатой фигуры под графиком функции f(x)

- n+1 частичная сумма ряда.

очевидно неравенство

Пусть несобственный интеграл сходится

Из левой части <числа- ограничена сверху числом-сходится.

Пусть расходится из правой части (*)неограниченрядрасходится.

Конец доказательства.

Докажем, с помощью интегрального признака Коши, что обобщенно-гармонический ряд:

свяжем с эти рядом несобственный интеграл

(доказано в несобственном интеграле) исходный несобственный интегралсходится или расходится одновременно.

Примеры:

1)

2)