- •Сигналы и линейные системы
- •Тема 13. Многомерные сигналы и системы.
- •Содержание
- •Введение.
- •13.1. Двумерные и многомерные сигналы [9].
- •13.2. Двумерные системы.
- •13.3. Частотные характеристики сигналов и систем.
- •13.4. Дискретизация двумерных сигналов [9].
- •13.5. Многомерный спектральный анализ [9].
- •Литература
13.5. Многомерный спектральный анализ [9].
Периодические последовательности. Двумерная последовательность s(n,m) прямоугольно периодична, если
sп(n,m) = s(n,n+M) = s(n+N,m)
для всех (n,m) при целочисленных значениях N и M. Минимальные значения N и M, при которых выполняется данное равенство, называют горизонтальным и вертикальным периодами функции sп(..), которыми ограничивается прямоугольная область RN,M главного периода, содержащая NM независимых отсчетов: 0nN-1, 0mM-1.
Последовательность sп(n,m) с периодами N и M можно представить в виде конечной суммы (ряда Фурье) комплексных синусоид с кратными частотами:
sп(n,m) =(1/NM)Sп(k,l) exp(j2nk/N+j2ml/M). (13.5.1)
Sп(k,l) =sп(n,m) exp(-j2nk/N-j2ml/M). (13.5.2)
Пример.
Разложить в ряд Фурье периодический сигнал: sп(n,m) = (n,m), 0n4, 0m2
(единичные импульсы с периодом: N = 5, M = 3).
Sп(k,l) =(n,m) exp(-j2nk/5-j2ml/3) = 1 для всех k и l, т.е. равномерная частотная характеристика в главном диапазоне. Соответственно сам сигнал может быть записан в виде двумерного ряда Фурье:
sп(n,m) =(1/20)exp(j2nk/5+j2ml/3).
Конечные последовательности. Если s(n,m) представляет собой последовательность конечной протяженности, имеющей опорную область RN,M, то периодическую последовательность sп(n,m) с главным периодом RN,M можно сформировать периодическим продолжением s(n,m):
sп(n,m) = s(n-aN,m-bM),
s(n, m) = sп(n, m), (n, m) < RN,M.
= 0, в остальных случаях.
Отсюда следует, что любой финитный сигнал может быть полностью определен своим периодическим продолжением и опорной областью.
Аналогично можно записать и для частотной области:
Sп(k, l) = a b S(k-aN, l-bM).
S(k, l) = Sп(k, l), 0kN, 0lM
= 0, в остальных случаях.
Отсюда значения s(n,m) и S(k,l) можно вычислить с использованием выражений (13.5.1-2) путем последовательности операций:
s(n,m) sп(n,m) Sп(k,l) S(k,l).
Практически это означает, что для получения ДПФ последовательности конечной протяженности достаточно из выражений (13.5.1-2) для рядов Фурье убрать знак периодичности, при этом следует помнить, что вычисление отсчетов s(..) вне опорной области приведет к вычислению значений не отсчетов s(..), а отсчетов sп(..) периодического продолжения сигнала s(..).
Таким образом:
1. Дискретизация сигнала в пространственной области вызывает периодизацию частотного спектра сигнала.
2. Дискретизация частотного спектра сигнала вызывает периодизацию его пространственного представления.
3. Прямое и обратное ДПФ сигнала ограниченной протяженности автоматически означает периодизацию как его спектра, так и его пространственного представления.
4. Сигналы, ограниченные в пространстве, можно точно отобразить отсчетами их фурье-преобразования.
5. Частотное представление сигнала с ограниченным спектром обратным фурье-преобразованием может быть точно переведено в пространственную область.
6. Ограниченность как пространственного сигнала, так и его спектра является обязательным условием корректного ДПФ, т.к. в противном случае периодизация сигнала может привести к искажению его спектрального и пространственного представления.
Многомерные последовательности. Определение ДПФ для Р-мерной последовательности с опорной областью RP = {: 0niNi-1, i=1,2,3, ... ,P} производится введением диагональной матрицы значений Ni:
= ,
при этом P-мерное ДПФ записывается в виде:
S() = s() exp(-jT2/). (13.5.3)
s() =S() exp(jT2/). (13.5.4)
Кратко рассмотрим особенности многомерных ДПФ (на примере двумерных последовательностей).
ДПФ суммы двух последовательностей с опорной областью на RN,M равно сумме их ДПФ:
аs(n,m)+bz(n,m) aS(k,l)+bZ(k,l),
но при этом все ДПФ должны быть одного размера и этот размер должен быть достаточным, чтобы включить всю опорную область суммарной последовательности аs(n,m)+bz(n,m). Практически это означает, что х(..) и z(..) должны иметь одну и ту же опорную область. Опорная область каждой последовательности при необходимости дополняется нулями.
Операция свертки двух функций в пространственной области отображается операцией умножения фурье-образов функций в частотной области, однако при этом линейная свертка полных пространственных сигналов при ее вычислении через ДПФ в силу периодического продолжения пространственных функций переходит в циклическую свертку (как и для одномерных сигналов). Результат свертки зависит от периодов N и М.
Допустим, что s(n,m) имеет опорную область RP1,P2, a h(n,m) - RQ1,Q2. Результат линейной свертки:
s(n,m) = k l h(k,l) s(n-k,m-l).
Опорная область последовательности s(n,m):
0nP1+Q1-1, 0mP2+Q2-1.
Следовательно, наложения периодов результата свертки не произойдет и циклическая свертка в главном частотном диапазоне будет равна линейной свертке при опорной области ДПФ:
NP1+Q1-1, MP2+Q2-1.
Пример.
Заданы последовательности (начало координат в нижнем левом углу): s(n,m) = , h(n,m) = .
Вычислить свертку z(n,m) = s(n,m) ** h(n,m).
ДПФ размера 2 х 2 для s(n,m). S(0,0) = s(0,0) + s(1,0) + s(0,1) + s(1,1) = 2+1+1+0 = 4
S(1,0) = s(0,0) - s(1,0) + s(0,1) - s(1,1) = 2 -1+1 -0 = 2
S(0,1) = s(0,0) + s(1,0) - s(0,1) - s(1,1) = 2+1 -1 -0 = 2
S(1,1) = s(0,0) - s(1,0) - s(0,1) + s(1,1) = 2 -1 -1+0 = 0
После аналогичного вычисления H(k,l) и перемножения S(k,l)= S(k,l) H(k,l):
S(k,l) = , H(k,l)= , Z(k,l)= .
После обратного ДПФ размера 2 х 2 получим результат циклической свертки: z(n,m) = .
Дополним опорные области s(.) и h(.) до размера 4 х 4 (для исключения искажения спектра, в принципе,
достаточен размер 3 х 3), и повторим вычисления:
s(n,m)= , h(n,m)= .
S(k,l)= , H(k,l)= .
S(k,l)= . s(n,m)= .
Сравнение данного результата с ДПФ размером 2 х 2 позволяет наглядно видеть эффект
цикличности свертки.
В настоящее время имеются разнообразные и весьма эффективные алгоритмы ДПФ. Для прямого вычисления P-мерного ДПФ требуется (N1N2...NP)2 операций умножения и сложения. Для многомерного ДПФ, как и для одномерного, существуют алгоритмы быстрых преобразований Фурье. Простейший из них в двумерном ДПФ - разбиение на строки и столбцы, который мы уже рассматривали. Аналогично, Р-мерное ДПФ может заменяться Р-операциями одномерных ДПФ, при этом общее количество операций умножения и сложения сокращается.