Сигналы и линейные системы
Signals and linear systems. Casual processes and signals
Тема 9. Случайные процессы и сигналы
Нет ничего более противного разуму и постоянству природы, чем случайность. Сам бог не может знать того, что произойдет случайно. Ибо если знает, то это определенно произойдет, а если определенно произойдет, то не случайно.
Марк Туллий Цицерон. Римский философ и политик, I в.д.н.э.
Случайность противна разуму, но не природе. Для проверки теории случайных процессов боги и создали мир. Швыряться яблоками они уже перестали, со времен Ньютона здесь ничего нового не наблюдалось. Но арбузные корки продолжают подсовывать - фиксируется непредсказуемая и зачастую очень даже интересная реакция.
Рудольф Гавшин. Уральский геофизик, ХХ в.
Содержание
Введение.
1. Случайные процессы и функции. Случайный процесс. Функциональные характеристики случайного процесса. Одномерная функция распределения вероятностей. Одномерная плотность вероятностей. Функции математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения. Двумерная плотность распределения вероятностей. Корреляционные и ковариационные функции случайных процессов. Свойства функций автоковариации и автокорреляции. Взаимные моменты случайных процессов. Статистическая независимость случайных процессов. Классификация случайных процессов. Эргодические процессы.
2. Функции спектральной плотности. Каноническое разложение случайных функций. Комплексные случайные функции. Финитное преобразование Фурье. Спектры мощности случайных функций. Теорема Винера-Хинчина. Спектр ковариационных функций. Взаимные спектральные функции. Эффективная ширина спектра мощности. Соотношение неопределенности.
3. Преобразования случайных функций. Системы преобразования случайных функций. Связь выходных статистических функций с входными. Математическое ожидание выходного сигнала. Корреляционная функция выходного сигнала. Функция взаимной корреляции входного и выходного сигналов. Спектральные соотношения. Дисперсия выходного сигнала. Функция когерентности. Преобразования случайных функций. Преобразования стационарных случайных функций.
4. Модели случайных сигналов и помех.Телеграфный сигнал. Белый шум. Гауссовый шум. Гауссовые случайные процессы.
Введение.
Наряду с полезными информационными составляющими в реальных сигналах присутствуют помехи и шумы. К помехам обычно относят сигналы от других посторонних источников, "наводки" аппаратуры, влияние дестабилизирующих факторов на основной сигнал и т.п. Физическая природа помех, как правило, не случайна, и после соответствующего изучения может переводиться в разряд детерминированной помехи или исключаться из сигнала. К шумам относят случайные флуктуации сигнала, обусловленные природой его источника или устройств детектирования и формирования сигнала. При неизвестной природе помех они также могут относиться к числу случайных, если имеют случайное вероятностное распределение с нулевым средним значением и дельта-подобную функцию автокорреляции.
Теория вероятностей рассматривает случайные величины и их характеристики в "статике". Задачи описания и изучения случайных сигналов "в динамике", как отображения случайных явлений, развивающихся во времени или по любой другой переменной, решает теория случайных процессов.
В качестве универсальной координаты для распределения случайных величин по независимой переменной будем использовать, как правило, переменную "t" и трактовать ее, чисто для удобства, как временную координату. Распределения случайных величин во времени, а равно и сигналов их отображающих в любой математической форме, обычно называют случайными (или стохастическими) процессами. В технической литературе термины "случайный сигнал" и "случайный процесс" используются как синонимы.
В отличие от детерминированных сигналов значения случайных сигналов в произвольные моменты времени не могут быть вычислены. Они могут быть только предсказаны в определенном диапазоне значений с определенной вероятностью, меньшей единицы. Количественные характеристики случайных сигналов, позволяющие производить их оценку и сравнение, называют статистическими.
В процессе обработки и анализа физико-технических данных обычно приходится иметь дело с тремя типами сигналов, описываемых методами статистики. Во-первых, это информационные сигналы, отображающие физические процессы, вероятностные по своей природе, как, например, акты регистрации частиц ионизирующих излучения при распаде радионуклидов. Во-вторых, информационные сигналы, зависимые от определенных параметров физических процессов или объектов, значения которых заранее неизвестны, и которые обычно подлежать определению по данным информационным сигналам. И, в-третьих, это шумы и помехи, хаотически изменяющиеся во времени, которые сопутствуют информационным сигналам, но, как правило, статистически независимы от них как по своим значениям, так и по изменениям во времени. При обработке таких сигналов обычно ставятся задачи:
обнаружение полезного сигнала,
оценка параметров сигнала,
выделение информационной части сигнала (очистка сигнала от шумов и помех),
предсказание поведения сигнала на некотором последующем интервале (экстраполяция).