10.5. Реакция систем на случайные сигналы [2,14].

Если сигнал на входе линейной системы является детерминированным, то, при известных параметрах системы, его соотношение с выходным сигналом является однозначным. Таким же однозначным является соотношение процессов на входе и выходе и для случайных сигналов, однако в силу природы последних явное представление, как входного сигнала, так и отклика системы, не представляется возможным. Для описания отклика системы необходимо использовать статистический подход. При рассмотрении данной темы ограничимся только физически реализуемыми системами с односторонним импульсным откликом h(t) (h(t)=0 при t<0) и соответствующей частотной характеристикой H(f). Если параметры входного сигнала специально не оговариваются, то по умолчанию принимается, что на вход системы поступает реализация случайного стационарного процесса x(t) с нулевым средним и вызывает сигнал y(t) на выходе системы.

Квазидетерминированный сигнал в какой-то мере позволяет оценить сохранение однозначности преобразования системой случайных сигналов.

Допустим, что система имеет импульсный отклик h(t) = exp(-at), t  0. Квазидетерминированный случайный сигнал стационарен, не обладает свойством эргодичности, но может быть описан в явной математической форме. Зададим сигнал на входе системы следующего вида:

x(t) = A + cos(2t+),

где A и  - взаимно независимые случайные величины, причем  равномерно распределена в интервале [0, 2]. Выходной сигнал определится выражением:

y(t) = h() _* x(t-)  h()x(t-) d = A/3 + [3 cos(2t+) + 2 sin(2t+)]/13.

Из выражения следует, что выходной сигнал системы также является случайным процессом и содержит те же самые случайные параметры, что и входной сигнал, а, следовательно, для него также могут быть определены статистические характеристики.

Математическое ожидание произвольного случайного стационарного сигнала x(t) на выходе линейной системы определится выражением:

= М{y(t)}=M{x(t-)}h() dh() dК_пс 

Отсюда следует, что математическое ожидание выходных сигналов системы равно математическому ожиданию входных сигналов, умноженному на коэффициент усиления системой постоянной составляющей. Если система не пропускает постоянную составляющую сигналов (площадь или сумма коэффициентов импульсного отклика системы равна нулю), то случайный выходной сигнал всегда будет иметь нулевое математическое ожидание.

Корреляционные соотношения. Для произведения выходных сигналов y(t) и y(t+) линейной системы можно записать:

y(t)y(t+) = h()h() x(t-)x(t+-) d d

Если взять математические ожидания от обеих частей этого равенства, то, с учетом соотношения в подынтегральном выражении

M{x(t-) x(t+-)} = -R_x(t--t-+) = R_x(+-),

получим:

R_y() = h()h() R_x(+-) d dR_x() _* h(+) _* h(-)

Таким образом, функция автокорреляции (АКФ) выходного сигнала равна АКФ входного сигнала, свернутой дважды, в прямом и обратном направлении, с импульсным откликом системы, что сохраняет четность АКФ выходного сигнала. Для нецентрированных процессов аналогичное заключение действительно и для ковариационных функций.

Заметим, что для свертки импульсных откликов, производя замену  = t, мы имеем равенство:

h(+) _* h(-) = h(t++) _* h(t) = h(t) _* h(t+) = K_h(t),

где K_h(t) - функция ковариации импульсного отклика системы. Отсюда:

R_y() = R_x() _* K_h(). (10.5.2')

Это означает появление в случайном сигнале на выходе системы определенной корреляционной зависимости, вызванной инерционностью системы, причем радиус корреляции выходного сигнала обратно пропорционален верхней частоте, пропускаемой системой.

Для взаимной корреляционной функции (ВКФ) R_xy входного и выходного сигналов соответственно имеем:

x(t)y(t+) = h() x(t)y(t+-) d

R_xy() = h() R_x() dR_x() _* h()10

т.е. функция взаимной корреляции входного и выходного сигналов равна свертке АКФ входного сигнала с функцией импульсного отклика системы - фильтрации АКФ сигнала этим же фильтром. Заключение действительно и для функций ковариации.

Другая взаимно корреляционная функция R_yx может быть получена из соотношения:

R_yx() = R_xy(-)  R_x() _* h(). (10.5.4)

Отметим, что для статистически независимых случайных величин при одностороннем импульсном отклике h()=0 при <0 функция R_xy() также является односторонней и равна 0 при <0, а функция R_yx соответственно равна 0 при >0.

Спектральные соотношения, которые характеризуют систему в целом по отношению к преобразованию случайных сигналов, это соотношения частотных плотностей распределения мощности случайных процессов на входе и выходе, которые для краткости обычно называют спектральными плотностями процессов (сигналов) или спектрами мощности.

Применяя преобразование Фурье к выражениям (10.5.2), для спектра мощности выходного сигнала получаем:

W_y(f) = W_x(f) |H(f)|². (10.5.5)

Спектр мощности сигнала на выходе системы равен спектру мощности входного сигнала, умноженному на квадрат модуля частотной характеристики фильтра. С учетом четности корреляционных функций спектр мощности выходного сигнала также является четной действительной функцией и не имеет фазовой характеристики процесса.

Аналогично, для взаимного спектра мощности на основе выражений (10.5.3-4):

W_xy(f) = W_x(f) H(f). (10.5.6)

W_yx(f) = W_x(f) H(-f).

Взаимный спектр мощности при одностороннем импульсном отклике является комплексным и содержит как амплитудную, так и фазовую характеристику процесса.

Отметим, что с использованием выражения (10.5.6) можно производить определение частотной характеристики и импульсного отклика системы:

H(f) = W_xy/W_x  h(t).

Дисперсия выходного сигнала может быть определена с использованием формул (10.5.2,5):

_y² = R_y(0) = W_x(f) |H(f)|² df  R_x(0) h²(t) dt = _x² h²(t) dt, (10.5.7)

что полностью соответствует полученной ранее формуле (10.2.5) для цифровой системы.

Если сигнал нецентрированный и значение дисперсии входного сигнала неизвестно, то по аналогичным формулам вычисляется сначала средний квадрат выходного сигнала или так называемая средняя мощность сигнала:

== R_y(0)  h²(t) dt  W_x(f) |H(f)|² df, (10.5.8)

Вывод: средняя мощность выходного сигнала равна средней мощности входного сигнала, умноженной на квадрат площади импульсной реакции системы (для цифровых систем - сумму квадратов коэффициентов импульсного отклика). Для центрированных случайных сигналов средняя мощность равна дисперсии сигналов. Для нецентрированных выходных сигналов:

_y² = - ²  (-²) h²(t) dt. (10.5.9)

Функция когерентности дает оценку точности принятой линейной модели системы. Когерентность входного и выходного сигналов системы оценивается по формуле:

_xy²(f) = |W_xy(f)|²/[W_x(f)W_y(f)]. (10.5.10)

Если функции W_x(f) и W_y(f) отличны от нуля и не содержат дельта-функций, то для всех частот f значения функции когерентности заключены в интервале:

0  _xy²(f)  1.

Для исключения дельта-функций на нулевой частоте (постоянная составляющая сигнала) определение функции когерентности производится по центрированным сигналам. Для линейных систем с постоянными параметрами функция когерентности равна 1, в чем нетрудно убедиться, если в формулу (10.5.10) подставить выражения W_xy и W_y, определенные через W_x в формулах (10.5.5-6). Для совершенно не связанных сигналов функция когерентности равна нулю. Промежуточные между 0 и 1 значения могут соответствовать трем ситуациям:

1. Система осуществляет преобразование x(t)  y(t), но в измерениях этих сигналов или одного из них присутствует внешний шум. Так, например, в сигналах, зарегистрированных с ограничением по разрядности, появляется шум квантования (округления значений).

2. Система не является строго линейной. Это может наблюдаться, например, при определенном ограничении по разрядности вычислений в цифровых системах, при накоплении ошибки в рекурсивных системах и т.п.

3. Выходной сигнал y(t) помимо x(t) зависит еще от каких-то входных или внутренних системных процессов.

Величина 1-_xy²(f) задает долю среднего квадрата сигнала y(t) на частоте f, не связанную с сигналом x(t).

Использование функций когерентности в практических методах анализа случайных данных подробно рассмотрено в работе /2/.