10.4. Частотные характеристики систем [2,5].

Передаточная функция. Для линейных систем, принимая в качестве сигнала на входе системы собственную функцию x(kt) = B()exp(jkt), мы вправе ожидать на выходе системы сигнал y(kt) = A()exp(jkt). Подставляя эти выражения в разностное уравнение системы (10.1.2), получаем:

a_m A()exp(jkt-jmt) =b_n B()exp(jkt-jnt).

A()exp(jkt)a_m exp(-jmt) = B()exp(jkt)b_n exp(-jnt).

A()a_m exp(-jmt) = B()b_n exp(-jnt). (10.4.1)

Отсюда, частотная передаточная функция системы (частотная характеристика при нормировке к а_о=1):

H() = A()/B() =b_n exp(-jnt)[1+a_m exp(-jmt)]. (10.4.2)

Нетрудно убедиться, что подстановкой z = exp(-jt) в выражение передаточной функции H(z) (10.3.2) может быть получено абсолютно такое же выражение для частотной характеристики, т.е.:

H()  H(z) при z = exp(-jt).

При обратном преобразовании H(z) во временную область с использованием выражений (10.3.4-5) отсюда следует также, что частотная характеристика системы представляет собой Фурье-образ ее импульсной реакции, и наоборот. При t = 1:

H() =h(n) exp(-jn), (10.4.3)

h(n) = (1/2)H() exp(jn) d. (10.4.4)

В общем случае H() является комплексной функцией, модуль которой R() называется амплитудно-частотной характеристикой системы (АЧХ), а аргумент () - фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

A() = |H()| = .

() = arctg(Im H()/Re H()).

Физический смысл частотной характеристики системы достаточно прост. Произвольный сигнал на входе системы может рассматриваться в виде суммы гармонических составляющих с различным набором амплитуд и начальных фазовых углов. Амплитудно-частотной характеристикой системы устанавливаются коэффициенты усиления системой (коэффициенты передачи) этих частотных составляющих, а фазочастотной характеристикой - сдвиг фаз этих частотных составляющих в выходном сигнале относительно начальных фаз во входном сигнале.

Основные свойства частотных характеристик систем:

1. Частотные характеристики являются непрерывными функциями частоты.

2. При дискретизации данных по интервалам t функция H() является периодической. Период функции H() равен частоте дискретизации входных данных F = 1/t. Первый низкочастотный период (по аргументу  от -/t до /t, по f от -1/2t до 1/2t) называется главным частотным диапазоном передачи сигнала. Граничные частоты главного частотного диапазона соответствуют частоте Найквиста _N, _N = /t. Частота Найквиста определяет предел частотной разрешающей способности системы по обработке данных.

3. Для систем с вещественными коэффициентами импульсной реакции h(nt) функция АЧХ является четной, а функция ФЧХ - нечетной. С учетом этого частотные характеристики систем обычно задаются только на интервале положительных частот 0-_N главного частотного диапазона. Значения функций на интервале отрицательных частот являются комплексно сопряженными со значениями на интервале положительных частот.