Задача (вариант 1)

Угольные шахты (ш) и карьеры (к) отправляют руду на обогащение на фабрики (ф).

Задано: стоимость добываемого угля С_ш и С_к (руб./т), расстояние перевозки угля L (км) от шахт и карьеров, стоимость перевозки С_д (руб/т*км). Заданы объемы добычи угля шахтами и карьерами (тыс. т/год) и количество добывающих предприятий (шахт – n, карьеров – m); задано количество и производительность обогатительных фабрик. Цена продаваемого после обогащения угля (Ц, руб./т) зависит от его зольности С_ф, стоимости добычи С_ш или С_к и стоимости доставки С_д

Ц = С_ф+ С_ш + С_к + L

Задание:

1. Найти оптимальный план перевозки угля от добывающих предприятий до фабрик, обеспечивающих минимальную цену продаваемого угля.

2. Найти оптимальный план производства угля, обеспечивающий максимальную прибыль от его продажи, когда рыночная цена Ц_р угля задана.

3. Оптимальность расчетных планов подтвердить альтернативными вариантами.

Решение:

Сведем исходные данные в таблицы.

Таблица 1 – Объем добычи угля, млн. т/год

Ш1	Ш2	Ш3	Ш4	К1	К2
1,3	1,4	0	1,6	0	3,6

Таблица 2 – Объем переработки угля, млн. т/год

Ф1	Ф2	Ф3
1,8	2,2	3,5

Таблица 3 – Расстояние перевозки угля, км

	ш1	ш2	ш3	ш4	К1	К2
Ф1	5	5	7	11	13	15
Ф2	9	8	4	8	10	12
Ф3	11	10	8	5	7	18

Таблица 4 – Стоимость добычи угля, руб./т

Ш1	Ш2	Ш4	К2
420	500	480	250

Таблица 5 – Стоимость обогащения угля, руб./т.

Ф1	Ф2	Ф3
200	180	160

Стоимость транспортировки – 15 руб./км. Рыночная цена угля от 1500 до 2000 руб./т. При расчетах рассмотреть несколько вариантов.

Для решения задачи необходимо вычислить себестоимость угля, готового к продаже: Ц = С_ф+ С_ш + С_к + L

Таблица 6 – Себестоимость угля, руб./т

	Ш1	Ш2	Ш4	К2
Ф1	695	775	845	675
Ф2	735	800	780	610
Ф3	745	810	715	680

Для поиска решения введем переменную х_n:

X₁₁ – количество угля перевозимого с из шахты 1 на фабрику 1;

X₁₂ – количество угля перевозимого с из шахты 1 на фабрику 2;

X₁₃ – количество угля перевозимого с из шахты 1 на фабрику 3;

X₂₁ – количество угля перевозимого с из шахты 2 на фабрику 1;

X₂₂ – количество угля перевозимого с из шахты 2 на фабрику 2;

X₂₃ – количество угля перевозимого с из шахты 2 на фабрику 3;

X₃₁ – количество угля перевозимого с из шахты 4 на фабрику 1;

X₃₂ – количество угля перевозимого с из шахты 4 на фабрику 2;

X₃₃ – количество угля перевозимого с из шахты 4 на фабрику 3;

X₄₁ – количество угля перевозимого с из карьера 2 на фабрику 1;

X₄₂ – количество угля перевозимого с из карьера 2 на фабрику 2;

X₄₃ – количество угля перевозимого с из карьера 2 на фабрику 3;

Составим целевую функцию – она заключается в минимизации плана перевозок (т/км) от шахт и карьеров на обогатительные фабрики:

У = 695*X₁₁ + 735*X₁₂ + 745*X₁₃ + 775*X₂₁ + 800*X₂₂ + 810*X₂₃ + 845*X₃₁ + 780*X₃₂ + 715*X₃₃ + 675*X₄₁ + 610*X₄₂; + 680*X₄₃;

Определим имеющиеся ограничения:

1. X₁₁+ X₁₂ +X₁₃=1 200 000;

2. X₂₁+ X₂₂ +X₂₃=1 300 000;

3. X₃₁+ X₃₂ + X₃₃=1 500 000;

4. X₄₁+ X₄₂+ X₄₃=3 500 000;

5. X₁₁+X₂₁ +X₃₁+X₄₁ ≤1 800 000;

6. X₁₂+X₂₂+X₃₂+X₄₂ ≤2 200 000.

7. X₁₃+X₂₃+X₃₃+X₄₃ ≤3 500 000.

Добываемое и обрабатываемое количество угля не может быть отрицательным, поэтому необходимо добавить еще ряд ограничений:

1. X₁₁ ≥ 0;

2. X₁₂ ≥ 0;

3. X₁₃ ≥ 0;

4. X₂₁ ≥ 0;

5. X₂₂ ≥ 0;

6. X₂₃ ≥ 0;

7. X₃₁ ≥ 0;

8. X₃₂ ≥ 0;

9. X₃₃ ≥ 0;

10. X₄₁ ≥ 0;

11. X₄₂ ≥ 0;

12. X₄₃ ≥ 0;

Теперь можно приступить к решению задачи на компьютере:

1. В ячейки А2, А3, A4 занесем количество угля обогащаемого на фабриках, т/год;

2. В ячейки А5, А6, А7, А8 занесем количество угля добываемого на шахтах и карьерах, т/год;

3. В ячейки С1:N1 занесем начальные значения неизвестных X₁₁, X₁₂, X₁₃ … , X₄₃ (нули);

4. В ячейках диапазона С2:N8 разместим таблицу коэффициентов основных ограничений.

5. В ячейках с В2:В7 укажем формулу для расчета ограничений. В ячейке В2 формула будет иметь вид:

=$C$1*C2 + $D$1*D2 + $E$1*E2 + $F$1*F2 + $G$1*G2 + $H$1*H2 + $I$1*I2 + $J$1*J2 + $K$1*K2 + $L$1*L2 + $M$1*M2 +$N$1*N2

6. В ячейку K1 занесем формулу целевой функции: =695*C1+ 735*D1+ 745*E1+775*F1+800*G1+810*H1+845*I1+780*J1+715*K1+675*L1+610*M1+680*N1.

После внесения всех данных, рабочее поле таблицы MS Excel будет выглядеть следующим образом:

7. Во вкладке «Данные» выберем функцию «Поиск решений». В появившемся окне необходимо установить целевую ячейку (O1), задать диапазон неизвестных (С1:N1), установить ограничения. После занесения всех данных диалоговое окно «Поиск решения» примет вид:

8. Нажимаем на кнопку «Выполнить». Откроется окно «Результаты поиска решения»:

Таблица 7

Построим схему перевозок

Схема 1

Шахта1

1 000 000

800 000

Шахта 2

500000

Шахта4

1 400 000

Карьер2

1 200 000

2 200 000

Минимальные транспортные расходы возможны при условии снижения объема переработки угля до 7,1 млн. тонн в год.

В результате решения задачи были определены оптимальные значения переменных: оптимальный план перевозки угля от добывающих предприятий до фабрик, обеспечивающих минимальную цену продаваемого угля.

Для того чтобы найти оптимальный план производства угля, обеспечивающий максимальную прибыль от его продажи, при рыночной цене 1500 тыс. за тонну, необходимо найти годовой объем продаж.

Годовая выручка = 1500*7100000=10 650 000 000 руб./год

Целевая функция:

У = 10 650 000 000 – (695*C1 + 735*D1 + 745*E1 + 775*F1 + 800*G1 + 810*H1 + 845*I1 + 780*J1 + 715*K1 + 675*L1 + 610*M1 + 680*N1);

Установим переключатель «равной» по максимальному значению. Ограничения остаются прежними:

После нажатия кнопки «выполнить» получаем результаты поиска решения.

Таблица 8

Максимально возможная прибыль составит 5 763 500 000 руб. в год, при рыночной стоимости угля 1500 руб. за тонну и при следующей схеме перевозки угля:

Схема 2

Шахта1

500 000

1 300 000

Шахта2

500 000

Шахта4

1 400 000

Карьер2

2 200 000

1 200 000

При рыночной стоимости угля 1750 руб. за тонну максимальная прибыль составит 6 546 000 000 руб. в год.

При рыночной стоимости угля 2000 руб. за тонну максимальная прибыль составит 9 321 000 000 руб. в год.

Увеличение рыночной цены продаваемого угля на 30% позволит увеличить максимальную прибыль на 60%, при этом схема поставки угля не изменится.

Для того, чтобы доказать, что найденное решение является оптимальным, рассмотрим альтернативный вариант решения задачи.

Предположим, что обогатительные фабрики обрабатывают максимальное количество поставляемого угля, что составляет порядка 7,5 млн. т/год. Максимальная прибыль, при рыночной цене 1500 руб./т составит 11 250 млн. руб. в год. Целевая функция для определения оптимального плана перевозок в данном случае останется прежней:

У=695*C1 + 735*D1 + 745*E1 + 775*F1 + 800*G1 + 810*H1 + 845*I1 + 780*J1 + 715*K1 + 675*L1 + 610*M1 + 680*N1;

Все ограничения останутся прежними, кроме:

1. X₁₁+X₂₁ +X₃₁+X₄₁ =1 800 000;

2. X₁₂+X₂₂+X₃₂+X₄₂ =2 200 000.

3. X₁₃+X₂₃+X₃₃+X₄₃ =3 500 000.

Таблица 9

Схема транспортировки угля в данном случае выглядит так:

Схема 3

Шахта1

1 200 000

 600 000

Шахта2

 700 000

Шахта4

1 500 000

Карьер2

2 200 000

1 300 000

Определим максимальную прибыль в данном случае. Целевая функция будет иметь вид:

У = 11 250 000 000 – (695*C1 + 735*D1 + 745*E1 + 775*F1 + 800*G1 + 810*H1 + 845*I1 + 780*J1 + 715*K1 + 675*L1 + 610*M1 + 680*N1);

Таблица 10

Максимальная прибыль при рыночной цене 1500 руб. за тонну составит 5614 млн. руб. в год, что ниже затрат на переработку добытого угля (5650 млн. руб.) и меньше максимальной прибыли, достигнутой в первом варианте (5763,5 млн. руб. в год).