2011-2012 уч. год, № 6, 11 кл. Физика. Физическая оптика. Элементы квантовой физики
гию системы частиц до и после их взаимодействия (под взаимодействием мы здесь понимаем упругие столкновения, распад), то оказывается справедливым следующее равенство:
N |
N |
|
|
|
∑1 |
Ei = ∑2 |
Ek' |
. |
(7.1) |
i=1 |
k =1 |
|
|
|
Здесь N1 – число частиц до взаимодействия, |
N2 – после него. Вообще говоря, |
|||
N1 может отличаться от N2 .
Заметим, что в общем случае необходимо учитывать ещё и потенциальную энергию U их взаимодействия. Например, энергия системы двух заря-
женных частиц |
|
Eсист = E1 + E2 +U12. |
(7.2) |
Перейдём к импульсу. |
|
а) Импульс, как и энергия, обладает свойством аддитивности, т. е. им-
пульс системы частиц равен векторной сумме импульсов частиц, входящих в |
||
эту систему: |
r |
r |
pсист |
= ∑pi . |
|
|
|
i |
б) Закон сохранения импульса имеет такой же вид как и в классической |
||
N1 ur |
N2 |
uur |
физике: ∑pi |
=∑p′k . |
|
i=1 |
k=1 |
|
|
|
§8. Дефект массы |
Обычно у учащихся после изучения школьного курса физики создаётся впечатление, что дефект массы наблюдается только в ядерных или термоядерных реакциях. Это не так!
Дефект массы – самое заурядное и распространённое явление. |
|
|
||||||||||||||
Задача 8.1. Ученик ФЗФТШ наливает в чайник из водопроводного крана |
||||||||||||||||
2 литра воды (t =14oC), ставит его на плиту и доводит до кипения. Предпо- |
||||||||||||||||
ложим, что испарения не происходит. |
На сколько изменится масса воды в |
|||||||||||||||
чайнике? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Согласно (6.4) |
mc2 = |
E2 −(cpr)2 , а так как |
p = 0 |
(центр масс |
||||||||||||
воды как до, так и после нагрева |
покоится), то mc2 |
= E . Во время нагрева |
||||||||||||||
воды ей была |
|
передана |
дополнительная |
энергия |
|
E = mcв T, |
где |
|||||||||
св = 4,186кДж/ (кг o C)−удельная теплоёмкость воды. |
Тогда |
mc2 = |
E. |
|||||||||||||
Относительное увеличение массы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m |
= |
|
c |
T |
|
m |
= |
4,186 |
103 86 |
= 4 10−12. |
|
|||||
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m |
|
c |
2 |
|
m |
(3 |
8 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
10 ) |
|
|
|
|
|
|
||||
Для атомного ядра дефект массы даётся формулой
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Слободянин Валерий Павлович
16
2011-2012 уч. год, № 6, 11 кл. Физика. Физическая оптика. Элементы квантовой физики
mсист = Zmp + Nmn −m(Z, N),
где mp , mn и m(Z , N ) – масса протона, нейтрона и атомного ядра соответст-
венно, Z и N – число протонов и нейтронов в атомном ядре.
Задача 8.2. Докажите, что масса атома водорода меньше суммы масс составляющих его протона и электрона. Считать, что скорость электрона в атоме мала (β <<1) .
|
Решение. |
Атом водорода – это связанная система. Согласно (6.4) и (7.2) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
(E |
|
+ E +U)2 |
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
||||||
|
|
|
p |
−(cp |
p |
+cp )2 =(m c2 )2. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
H |
|
||
Здесь Ep – энергия протона, |
Ee – энергия электрона, а mH – масса атома во- |
||||||||||||||||||||
дорода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cpr |
По условию задачи атом водорода можно считать покоящимся, т. е. |
||||||||||||||||||||
+cpr |
= 0. |
Из этих формул следует |
E |
p |
+ E +U = m c2 , |
или с учётом |
|||||||||||||||
p |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
H |
|
|
(6.8), |
|
m |
c2 |
+ E |
|
+m c2 + E |
|
|
+U = m c2. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(8.1) |
|||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
кин(p) |
|
|
e |
|
|
|
кин(e) |
|
H |
|
||||
Поскольку |
β<<1, |
|
кинетическая энергия каждой из частиц может быть |
||||||||||||||||||
вычислена по классической формуле. Поскольку |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Eкин(p) |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
e |
≈ 5 10−4 <<1, |
|
(8.2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
m |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
кин(e) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
кинетической энергией протона можно пренебречь. Дефект массы атома водорода m = (mp + me ) −mH . Тогда с учётом условия (8.2) формулу (8.1) можно
представить в виде
mc2 = −U −E |
. |
|
(8.3) |
|
кин(e) |
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
кин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.1
Величина Eсв = −U − Eкин(e) называется энергией связи электрона с ядром
(рис. 8.1). Численно она равна энергии, которую нужно затратить на ионизацию атома водорода.
Потенциальная энергия атома водорода обусловлена кулоновским взаимодействием электрона с протоном. Она отрицательна и может быть найдена
по известной формуле:
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Слободянин Валерий Павлович
17