kozel_3sem

Через n периодов амплитуда упадет до значения

Vk+n = Vk+ n−1)e−d = Vk+ n−2)e−2d = . . . = Vk e−nd.

Пусть в момент tk напряжение на конденсаторе было Vk после сообщения дополнительного заряда импульсом накачки. Через n периодов

непосредственно перед очередным импульсом накачки напряжение на конденсаторе стало Vk+n. Установившейся амплитудой будем считать напряжение Vk . После импульса накачки напряжение Vk+n увеличится на V0, став по величине равным Vk . Таким образом:

1.11Одиннадцатая неделя

10.1 Железный сердечник несет на себе две обмотки. Одна омотка, из большого числа n витков, присоединена к источнику синусоидальной ЭДС ε. Другая обмотка состоит из одного кольца, сопротивление которого R. Точки A B C этого кольца остоят друг от друга на равные

расстояния. 1) Что покажет достаточно чувствительный амперметр переменного тока с сопротивлением r, если его присоединить к двум из

этих точек? 2) Как изменится показание амперметра, если его перебросить в положение, указанное штриховой линией на рисунке? Железный сердечник не имеет магнтиного рассеяния. Индуктивностью кольца и соединительных проводов можно пренебречь.

Решение: ЭДС источника возбуждает в катушке ток

ε = −L dIdt .

Магнитный поток через катушку:

Φ0 = LI

41

через сечение сердечника:

Φ= Φn0 .

Влюбом контуре, охватывающем сердечник, возникает ЭДС индукции:

dΦ εi = − dt .

Видно, что

ε

εi = n .

Рассмотрим первый способ подключения амперметра. ЭДС индукции возбуждается в контуре A − B − C. Запишем законы Кирхгофа:

I1 = IA + I2.

Решая эту систему, получаем

3ε

IA = n 2R + 9r) .

42

При втором способе подключения ЭДС индукции возбуждается в контуре A − R3 − B − r. Поэтому законы Кирхгофа будут выглядеть

I2 = I1 + IA.

Из этой системы получаем

6εi

IA = n 2R + 9r) .

10.3 Для определения мощности, выделяемой переменным током в катушке (индуктивность L, сопротивление r), иногда применяют метод

трех амперметров. Параллельно катушке включают известное сопротивление R. Измеряют эффективные значения токов: I1 - через катушку, I2 - через сопротивление R и полный ток I0. Зная показания приборов, определить искомую мощность P .

10.3 Составим векторную диаграмму.

(Напряжение на катушке равно напряжению на резисторе нагрузки, сила тока I0 складывается из I1 и I2). Должны выполняться законы

Кирхгофа:

I1XL + I1r = I2R.

Сопротивление катушки XL = iωL, ток через резистор r и катушку оди-

наковый в каждый момент времени, следовательно на векторной диаграмме для напряжения токи через катушку и сопротивление r сонаправлены, а по напряжения по фазе отличаются на π/2. Из диаграммы для токов определяем ϕ по теореме косинусов:

I02 = I12 + I22 − 2I1I2 cos ϕ

Из диаграммы для напряжений получим соотношения между ϕ и сопротивлениями r XL, учитывая, что угол между напряжением на R и на r остается ϕ:

XL = I2R cos ϕ I1

r = XL tg ϕ ≡ I2R sin ϕ. I1

Используя эти формулы и выражая sin ϕ через cos ϕ, получим мощность:

P = I12r = R2 I02 − I12 − I22).

10.23 Емкостный датчик - одно из наиболее чувствительных радио-

технических устройств для регистрации малых механических смещений. Обычно емкостный датчик представляет собой электрический колебательный контур в воздушным конденсатором, одна из пластин которого подвижна. Оценить минимальное измеряемое перемещение пластинки конденсатора d, если контур настроен в резонанс. Напряжение источника питания V = 100 В, минимальное измеряемое изменение напряжения на сопротивлении V = 10 мкВ, добротность контура Q = 193 и зазор между пластинками d = 1 мм.

Решение: Из закона Ома для переменного тока ток в основной цепи

Контур настроен в резонанс, следовательно, будем считать, что

ω2LC = 1.

Емкость конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между обкладками, следовательно,

C = − d . C d

Посчитаем изменение амплитудного значения напряжения, найдя дифференциал от VR:

Добротность колебательного контура есть

С учетом этого, последняя формула примет вид:

10.39 Вблизи катушки колебательного контура с параметрами L1 C R расположена вторая катушка с индуктивностью L2. Взаимная индуктивность между катушками равна M . Какой будет резонансная частота кон-

тура, если выводы второй катушки замкнуты накоротко? Считать, что индуктивное сопротивление второй катушки на рассматриваемой частоте значительно больше ее омического сопротивления.

Решение: Запишем закон Ома для обоих контуров. Пусть в первом контуре течет ток I1 t), во втором - I2 t).

Подставляя в первое уравнение I2 и учитывая, что I1 = q˙, I1 = q¨,

откуда видно, что резонансная частота контура есть

а при L1L2 = M 2 не будет резонанса, т.к. не будет и колебаний.

46

1.12Двенадцатая неделя

11.2 В приемниках радиоилзлучения обычно используется осуществля-

ется квадратичное преобразование принимаемого сигнала с последующим усреднением за некоторое время t, подчиняющееся условию 2π/ω0

t 2π/Ω, где ω0 - радиочастота, Ω - частота модуляции (Ω llω0). Что

зарегистрирует такой приемник в следующих случаях?

1& На вход поданы амплитудно-модулированные колебания(f t) =

A 1 + m cos Ωt) cos ω0t m 1).

2& На вход подан сигнал с фазовой модуляцией (f t) = A cos ω0t + m cos Ωt) m 1).

3& На вход поданы колебания, модулированные по фазе, но с отфильтрованной несущей частотой (т.е. ω0).

3& На вход поданы колебания, модулированные по фазе, в которых фаза спектральной компоненты частоты ω0 изменена на π/2.

Решение: Усреднение сигнала f t) по времени за период t означает

подсчет следующей величины:

Поскольку интервал времени задан таким образом, что он существенно превышает период колебания несущей, то при усреднении последней получается ноль. Поскольку период усреднения существенно меньше периода модуляции, то члены cosΩt sinΩt, а также члены с кратными им

частотами, успевают измениться мало и могут при усреднении рассматриваться как постоянные величины. Например:

cos ωt · sin 3Ωt ≈ sin 3Ωt · cos ωt = sin 3Ωt · 0 = 0.

Итак, в первом случае:

f1 t)2 = A2 1 + 2m cos Ωt + m2 cos2 Ωt) cos2 ω0t =

=A2 cos2 ωt2 + 2mcos2 ωt cos Ωt + m2cos2 ωt cos2 Ωt) =

=A2 1 + 2m 1 cos Ωt + m2 1 cos2 Ωt) = A2 1 + m cos Ωt)2 ≈ 2 2 2 2

≈ A2 1 + m cos Ωt). (1.70) 2

47

Во втором случае:

f2 t) = Aeiωt+im cos Ωt) = Aeiωteim cos Ωt) ≈ A cos ωt+i sin ωt) 1+im cos Ωt)) = = A cos ωt − m sin ωt cos Ωt) (1.71)

(Здесь x означает действительную часть комплексного числа x.) Воз-

водя это в квадрат и усредняя, получим:

A2

f2 t) = 2 1 + 2m cos Ωt).

(Здесь мы пренебрегли всеми членами порядка m2, возникшими при воз-

ведении в квадрат).

В третьем случае: Убрав из предыдущего сигнала компоненту с

несущей частотой, найдем показания приемника в этом случае:

f3 t) = Am2 cos2 Ωt sin2 ωt = A2 1 + m) cos 2Ωt. 4

В четвертом случае:

f4 t) = A cos ωt+π/2+m cos Ωt)+A sin ωt = A eiωt+π/2+m cos Ωt)+A sin ωt ≈

≈A [ −sin ωt+i cos ωt) 1+im cos Ωt)]+A sin ωt = A −sin ωt−m cos ωt cos Ωt) =

=−Am cos ωt cos Ωt. (1.72)

Усредняем:

11.3 Исследовать спектры сигналов, изображенных на рисунке.

48

Решение: 1& Периодический сигнал f t) с периодом T может быть

Воспользуемся комплексной записью ряда Фурье:

49

2& В случае непериодического импульса необходимо применять инте-

грал Фурье - обобщение разложения в ряд Фурье:

∞

f t) = cν eiνtdν.

−∞

Здесь коэффициент разложения ищется по формуле:

∞

cν = f t)e−iνt dt.

−∞

Для одиночного прямоугольного импульса:

τ /2

cν = Ae−iνt dt = Aτ sin ντ /2 . ντ /2

−τ /2

3&Перенесем начало отсчета времени в начало цуга: f 0) = 0. По-

скольку импульс непериодический, используем интеграл Фурье:

Здесь было использовано представление синуса в виде разности двух комплексных экспонент, а циклическая частота ω = 2π/T .

(1.75)

50

eix − 1 = eix/2 eix/2 − e−ix/2) = eix/2 · 2i sin x/2.

Используя это, получим:

11.10 В схеме, изображенной на рисунке, действует переменная ЭДС, изменяющаяся по закону ε = ε0 cos2 Ωt. Определить токи J J1, если известно, что параметры цепи удовлетворяют соотношению Ω2 = 1/ 4LC).

Решение: Импеданс участа ACB:

ZACB = I1 R12 + ω2L21.

То же напряжение создается и на участке ADB с импедансом:

Заметим, что исходный сигнал можно разложить в ряд Фурье:

ε = ε20 1 + cos Ωt).

Токи и напряжения, возникающие при подаче такого сигнала на контур, могут быть представлены в виде суммы откликов системы на каждую из Фурье-компонент сигнала. Видно, что нулевая компонента сигнала - постоянное напряжение - создает нулевой ток I (постоянный ток через конденсатор не течет), а общий ток I0 через резистор R в этом случае

равен I1:

ε0

I1 = I0 = 2 R + R1) .

51

Вторая компонента ряда Фурье имеет такую частоту, что (по условию)

ZADB ω=2Ω = 0.

Поэтому весь переменный ток, обусловленный второй компонентой, потечет через участок цепи ADB:

ε

I0 = I = 2R1 cos 2Ωt.

Итак, в результате подачи заданного напряжение на контур возникнут

следующие токи:

ε0

I1 = 2 R + R1)

ε

I = 2R1 cos 2Ωt.

11.35 Индуктивность колебательного контура периодически меняет-

ся во времени по закону, указанному на рисунке. При каком значении емкости колебательного контура возможен параметрический резонанс? При каком максимальном значении активного сопротивления контура произойдет возбуждение параметрических колебаний? Выполнить численный расчет для L0 = 4 · 10−4 Г, L = 4 · 10−5 Г, τ0 = 10−6 c.

Решение: При быстром изменении индуктивности катушки магнит-

ный поток через нее сохраняется. Поэтому можно записать:

L0I = L0 + L) I − I).

52

Считая изменения индуктивности и тока малыми одного порядка, перенебрежем членами второго порядка малости и получим соотношение:

LL = II .

Если увеличить индуктивность катушки в тот момент, когда ток через нее максимален, конутр получит дополнительную энергию (засчет работы внешней силы по растяжению катушки):

E= Φ2 2I

При изменении индуктивности катушки происходит скачок энергии контура, причем его относительная величина не зависит от того, в какой момент это произошло. Поэтому для достижения наибольшего прироста энергии в этот момент в катушке должна быть сосредоточена вся энергия контура.

Параметрический резонанс возникает тогда, когда каждое увеличение индуктивности приходится на момент наибольшего тока, а уменьшение индуктивности - на момент нулевого тока. В этом случае энергия контура будет нарастать как:

Для выполнения описанной временной картины между увеличением индуктивности и ее уменьшением должно проходить четверть периода колебаний, а до следующего увеличения индуктивности должно пройти три четверти колебаний. Отсюда найдем условие на резонансную частоту

контура:

T τ0 = 4 .

Отсюда:

4τ 2

C = π2L0 0 ≈ 10−9 Ф.

53

Максимальное значение сопротивления определяется из условия, что потери энергии в омическом сопротивлении за период изменения индуктивности сравняются с приростом энергии:

.

Логарифмический декремент затухания есть логарифм отношения двух последовательных максимумов силы тока (напряжения, заряда...):

d = πR CL .

выразим наибольшее сопротивление:

π L

Rmax = 4τ0 ≈ 31 Ом.

1.13Тринадцатая неделя# последняя

12.43 Отрезок коаксиального кабеля длиной l = 14м подлючҷн ко вхо-

ду усилителя с очень высоким входным сопротивлением. Другой конец кабеля замкнут накоротко. Межпроводное пространство кабеля заполнено диэлектриком (ε = 2), характеризующимся малой удельной проводимостью λ = 10−6 Ом−1м−1 ≈ 9 · 103 ед. СГСЭ. Найти наименьшую резонансную частоту νmin и добротность контура, эквивалентного отрез-

ку данного кабеля, считая, что потери связаны только с проводимостью диэлектрика.

Решение: По условию, омическое сопротивление самого кабеля -

ноль, поэтому т.к. кабель закорочен с одного из концов, в этом месте напряжение всегда нулевое - узел напряжения (в противном случае, при

54

ненулевом напряжении I = U/R = U/0 → ∞). Усилитель имеет боль-

шое входное сопротивление - будем его считать настолько большим, что ток через него вообще не течҷт. Следовательно, на другом конце возникает узел тока. Поскольку, как было показано в Сивухине(т.3, §143 "Волны вдоль проводов"), в коаксиальном кабеле (подобно линии Лехера), могут существовать бегущие волны с синфазно изменяющимся напряжением и током и их линейные суперпозиции, в данном случае мы имеем дело со стоячей волной. Это суперпозиция двух бегущих волн - прямой и отражҷнной. Наименьшая частота - та, при которой укладывается наименьшее число длин волн, удовлетворяющих данным граничным условиям(V 0) = 0 J L) = 0) - задающҷтся равенством

L = λ4 .

c

v = √ε

c νmin = 4L√ε

Вид зависимости напряжения и тока от координаты вдоль провода показана на рисунке.

Как и в колебательном контуре, максимальная энергия за период, в два раза больше средней энергии. Вычислим среднюю энергию электрического поля:

где интегрирование ведҷтся по всему объҷму диэлектрика. Добротность колебаний есть отношение запасҷнной энергии к потерям энергии за один

радиан:

Q = 2πWmax . Wl

По условию, потери происходят из-за проводимости диэлектрика:

T

Wl = dt λE2dV.

0V

Видно, что в двух записанных интегралах совпадают подынтегральные части с точностью до постоянных сомножителей. Учитывая это, найдҷм искомую добротность:

12.44 Торцы отрезка волновода сечением a×b = 22 ×10 мм2 и длиной l = 100 мм2 запаяны, и волновод заполнен диэлектрической средой с ε = 2, обладающей слабой удельной проводимостью λ = 10−7Ω−1m−1 ≈ 900 ед. СГСЭ. Найти добротность Q полученного СВЧ-резонатора для самой низкой возможной резонансной частоты νmin, считая, что потери

связаны только с проводимостью диэлектрика.

Решение: Аналогично предыдущей задаче, рассчитаем среднюю энер-

гию, запасҷнную, например, электрическим полем, и потери за период, и с помощью их отношения найдҷм добротность:

ε

Q = 2T λ

(Здесь λ - не длина волны, а проводимостьZ).

Резонансные моды в волноводе должны отвечать граничному условию - тангенциальная к поверхности составляющая электрического поля должна быть ноль.

(Здесь ось z направлена вдоль самой длинной стороны, x - вдоль самой

короткой). Для соблюдения граничного условия необходимо, чтобы

где n l m - целые числа. Пусть волна поляризована вдоль средней стороны(оси a). Тогда можно положить n = 0, m = 1, l = 1. Положить два из трҷх чисел нулями нельзя, т.к. тогда на стороне b или L электрическое

поле будет иметь тангенциальную составляющую.

Распределение электрического поля

12.48 Генератор электромагнитного излучения с длиной волны λ = 8 мм и мощностью N = 1 Вт настроен на основную моду прямоугольного резонатора с металлическими стенками, объҷм которого V = 0.2 см2 и добротность Q = 103. Система соединения генератора и резонатора

обеспечивает полное поглощение энегии генератора внутри резонатора. Определить максимальную напряжҷнность E0 электрического поля в ре-

зонаторе.

Решение: Энергия полностью поглощается, следовательно - мощ-

ность омических потерь в резонаторе равна мощности входящего излучения:

N = Wloss.

Энергию потерь через среднюю энергию, воспользовавшись данной добротностью:

57

При основной моде электрическое поле имеет вид:

V0 0 0

следовательно, средняя энергия есть:

E2V 1 E2V Wavg = 320 π · 2 ≡ 640 π .

Полная энергия колебаний в два раза еҷ больше:

E2V

Wmax = 0 .

32π

Добротность контура:

Q = 2πWmax N T

(здесь учтено то, что потери энергии равны поступающей в систему за период энергии N T ). Отсюда:

12.52 Мощный СВЧ-генератор через волновод питает нагрузку, посылая в волновод мощность N0 = 100 кВт. Часть этой мощности поглощается в нагрузке (Nн = 75 кВт), а часть отражается. В результате в

волноводе возникает суперпозиция прямой и отражҷнной волн, распространяющихся во встречных направлениях. Найти коэффициент стоячей волны в волноводе, т.е. отношение максимальной напряжҷнности поля (в пучностях) к минимальной (в узлах).

Решение: Мощность пропорциональна квадрату амплитуды поля.

Поэтому для прямой и отражҷнной волн можно записать:

1

E = E0 sin kx − ωt) + 2 sin −kx − ωt − π)

58

(здесь учтено изменение фазы отражҷнного сигнала на π, а также, что

мощность отражҷнного сигнала в 4 раза меньше мощности прямого, следовательно, его напряжҷнность в два раза меньше.) Преобразуем это выражение. Обозначим kx = a, ωt = b. Тогда

Отсюда видно, что наибольшая амплитуда достигается при kx = πn + π/2 n Z, а наименьшая амплитуда - при kx = πk k Z. Искомое

отношение наибольшей и наименьшей амплитуд есть

Emax = 3.

Emin

12.57 По длинному плазменному циллиндру диаметром 2R = 10 см течҷт ток J = 105 А, сосредоточенный в поверхностном слое. Давление

в плазме

P = 105 Н/м.

Определить давление P0 на боковую поверхность плазменного циллин-

дра, возникающее под действием тока. Сжимается плазма или расширяется? Найти величину тока, необходимую для того, чтобы радиальные силы уравновесились.

Решение: Магнитное поле, создаваемое током, есть

B = cR2J .

Поверхностная плотность тока есть

J j = 2πR

59

На каждый фрагмент поверхности высотой h и длиной дуги dl действует

сила Ампера:

Эта сила направлена к центру шнура и противодействутет газокинетическому давлению в шнуре. Она создаҷт давление

Магнитное давление уравновешивает газокинетическое при

J ≈ 1 25 · 105 А.

60