Бесов

2.◦ Аналитической в точке x0 R функцией веще-

ственного аргумента называется функция f, которая при некотором ρ > 0 представима рядом

∞

X

f(z) = ak(x − x0)k, x R, |x − x0| < ρ. (2)

k=0

Множество всех таких функций обозначим через

A(x0).

3.◦ Вещественной аналитической в точке x0 функцией

называется функция f, которая при некотором ρ > 0 представима рядом (2) с вещественными коэффициентами ak, k N0. Множество всех таких функций обозначим через RA(x0). (R — от англ. слова «Real»).

− x0)k из (2) определяется формулой (17.1.2). Интервалом сходимости этого ряда называется интервал (x0 − R, x0 +

+R).

Вкачестве следствия из теорем 17.1.1, 17.1.2 получаем,

∞

что ряд P ak(x − x0)k сходится абсолютно на интервале

k=0

сходимости и расходится (и даже общий член его не стремится к нулю) вне замыкания интервала сходимости. Этот ряд сходится равномерно на любом отрезке из интервала сходимости.

Лемма 1 (о сохранении радиуса сходимости при почленном дифференцировании). Радиусы сходимо-

Теорема 2 (единственности для A(z0)). Пусть f

A(z0). Тогда ее представление (1) единственно.

До к а з а т е л ь с т в о. Теорема 2 является следствием теоремы 1. Покажем, что коэффициенты разложения (1) однозначно определяются функцией f.

Пусть для f имеется представление (1), в котором z0 = = x0 + iy0, z = x + iy. Рассмотрим (1) при y = y0. Тогда

∞

X

ϕ(x) B f(x + iy0) = ak(x − x0)k, |x − x0| < ρ. (5)

k=0

В силу теоремы 1 коэффициенты ak однозначно опреде-

ляются функцией ϕ: ak= ϕ(k)(x0) k N. Отсюда следует k!

утверждение теоремы 2.

Теорема 3 (о почленном дифференцировании и интегрировании). Пусть R > 0 — радиус сходимости ряда

k=0

ak — вещественные числа. Тогда при |x − x0| < R

1.◦ f имеет производные всех порядков, которые находятся почленным дифференцированием;

т. е. внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать;

3.◦ степенные ряды, полученные почленным дифференцированием или почленным интегрированием, имеют тот же радиус сходимости R.

304Глава 17. Степенные ряды

До к а з а т е л ь с т в о. Утверждение 3◦ содержится в лемме 1. Утверждения 1◦ и 2◦ в силу утверждения 3◦ и

равномерной сходимости ряда (6) на любом отрезке из интервала сходимости (следствие из теоремы 17.1.2) следуют из соответствующих свойств общих функциональных рядов.

§ 17.3. Разложение функций в ряд Тейлора

Если функция f: U(x0) → R определена в некоторой окрестности точки x0 R и имеет в точке x0 производные всех порядков (т. е. является бесконечно дифференцируемой в точке x0), то степенной ряд

∞ f(k)(x0)

X

k!

(x − x0)k (1)

k=0

называется рядом Тейлора функции f в точке x0.

Будем изучать вопрос о представимости функции f:

U(x0) → R в некоторой окрестности точки x0 степенным

∞

рядом P ak(x − x0)k. Из теоремы 17.2.1 следует, что этот

k=0

вопрос равносилен вопросу о представимости функции f в некоторой окрестности точки x0 ее рядом Тейлора (1).

Бесконечная дифференцируемость функции f в точке x0 необходима для того, чтобы выписать ряд Тейлора (1), но не является достаточным условием ее представимости этим рядом ни в какой окрестности точки x0. Это можно подтвердить примером функции

( − 1 6

ϕ(x) = e x2 при x = 0,

0при x = 0.

При x 6= 0 функция ϕ имеет производные всех порядков. Нетрудно убедиться, что каждая из них имеет вид

конечных приращений Лагранжа получаем, что

так что f0(0) = 0. Применяя математическую индукцию и формулу конечных приращений Лагранжа, получаем (2).

Итак, функция ϕ бесконечно дифференцируема в точке

что Sn(x) является также частичной суммой ряда Тейлора функции f. Поэтому для фиксированного x эквивалентны соотношения

" ∞ f(n)(x0) #

X

f(x) = (x − x0)n n!

n=0

[Sn(x) → f(x) при n → ∞] [rn(x) → 0 при n → ∞].

Таким образом, для доказательства возможности разложения функции f в степенной ряд (т. е. в ряд Тейлора) в

данной точке x достаточно показать, что rn(x) → 0 при n → ∞.

Нам понадобятся для этого различные формы остаточного члена формулы Тейлора.

Теорема 1. Пусть производная f(n+1) функции f непрерывна на отрезке с концами в x0 и x. Тогда остаточный член формулы Тейлора (3) можно представить в интегральной форме:

Применим метод математической индукции. При n = 0 формула (7) верна, т. к. совпадает с формулой Ньютона– Лейбница:

308Глава 17. Степенные ряды

За м е ч а н и е 1. Формула (5) уже была доказана раньше другим способом (теорема 6.2.3), причем при более общих предположениях относительно функции f. Доста-

точно было считать, что f(n) непрерывна на отрезке [x0, x] (или [x, x0]), а f(n+1) существует на интервале (x0, x) (или

(x, x0)).

Перейдем к выводу разложений основных элементарных функций в ряд Тейлора (1), считая x0 = 0. Иначе говоря, для каждой рассматриваемой ниже функции f выясним, на каком множестве E R выполняется равенство

Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа имеет вид

так что для каждого фиксированного x (−∞, +∞)

Отсюда следует (9). Из (9) вытекает в силу теоремы 17.1.1, что радиус сходимости степенного ряда (9) R = +∞.

x (−∞, +∞).