Бесов

§ 15.5. Последовательности и ряды с комплексными членами 281

Продолжая так и далее, построим ряд (8), отличаю-

P

щийся от ak лишь перестановкой членов.

По построению, уклонение частичной суммы ряда (8) от A, т. е. |A − Sn|, оценивается для номеров n второго шага построения через max{αm1 , βn1 }, номеров n третьего шага — через max{βn1 , αm2 }, четвертого шага — через

max{αm2 , βn2 } и т.д.

Поскольку αi → 0, βi → 0 при i → ∞, отсюда следует, что Sn → A при n → ∞. Теорема доказана.

Упражнение 1. Доказать, что в условиях теоремы Римана можно построить ряд (8), для которого частичные суммы:

a)Sn → +∞ при n → +∞;

b)Sn → −∞ при n → −∞;

c)образуют ограниченную расходящуюся последовательность {Sn}.

§15.5. Последовательности и ряды

скомплексными членами

Определение 1. Последовательность комплексных чисел {zk} = {xk + iyk} называется сходящейся, если существует комплексное число z0 = x0 + y0 такое, что

lim |zk − z0| = 0.

k→∞

Число z0 = x0 + iy0 называют при этом пределом последовательности {zk} и пишут lim zk = z0 или zk → z0 при

n→∞

n → ∞.

Поскольку

p

|zk − z0| = (xk − x0)2 + (y − y0)2,

сходимость zk → z0 равносильна сходимости каждой из двух последовательностей действительных чисел xk → x0 и yk → y0 при k → ∞. Это свойство (или повторение выводов) дает возможность перенести на последовательности

комплексных чисел все теоремы о последовательностях действительных чисел, которые не связаны с отношением порядка (этого понятия нет во множестве C комплексных чисел).

Определение 2. Символ

k=1

называется числовым рядом.

На ряд (1) переносятся все понятия ряда действительных чисел (член ряда, частичная или частная сумма ряда, остаток ряда, сходимость и сумма ряда, абсолютная сходи-

мость ряда).

∞

P

Очевидно, ряд zk, zk = xk +iyk, сходится (абсолютно

k=1

сходится) тогда и только тогда, когда сходится (абсолютно

k=1 k=1

На ряды с комплексными членами переносятся все теоремы § 14.1 и § 14.3. Переносятся также и признаки сходи-

284 Глава 16. Функциональные последовательности и ряды

Пример 1. Пусть fn(x) = xn, 0 6 x < 1. Последовательность {fn(x)}∞1 сходится поточечно к нулю для x[0, 1). Однако она не сходится на [0, 1) равномерно. В самом деле, предельной функцией может быть только f(x) = = 0 x [0, 1). Но

sup |xn − 0| = 1 6→0 при n → ∞.

x [0,1)

Та же последовательность сходится на отрезке [0, q], 0 < < q < 1, равномерно, т. к. sup |xn − 0| = qn → 0 при

x [0,q]

n → ∞.

Пример 2. Пусть непрерывная функция fn: [0, 1] → R,

Следующее определение эквивалентно определению 2.

Определение 20. Говорят, что последовательность (1) сходится на E равномерно к функции f: E → C, если

ε > 0 n = n(ε) : |fn(x) − f(x)| < ε x E, n > n(ε).

Подчеркнем, что в определении 20 n = n(ε) не зависит от x E. Если же в этом определении заменить n(ε) на n(x, ε), т. е. считать n(ε) зависящим еще и от x, то оно превращается в определение (поточечной) сходимости на множестве E.

§16.1. Равномерная сходимость функ. послед-стей и рядов 285

За м е ч а н и е 1. Понятие «равномерная сходимость» может быть пояснено как «в равной степени быстрая сходимость» для разных точек множества E. В случае равномерной сходимости существует миноранта «ско-

ростей сходимости» во всех точках E — это εn B sup |fn −

E

− f| → 0 (n → ∞).

Заметим еще, что равномерная сходимость fn f рав-

E

носильна, очевидно, равномерной сходимости fn − f 0.

Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости последовательности). Последовательность {fn}, fn: E → C, сходится на E равномерно тогда и только то-

при каждом фиксированном x E выполнено условие

ε > 0 n(ε) : |fn(x)−fm(x)| < ε n, m > nε, x E. (2)

Всилу критерия Коши сходимости числовой последовательности {fn(x)} сходится для x E. Обозначим предел числовой последовательности{fn(x)} через f(x). Покажем,

что fn f. Перейдем для этого в оценке (2) к пределу при

E

m → ∞. Получим, что

ε > 0 n(ε) : |fn(x) − f(x)| 6 ε n > n(ε), x E.

286 Глава 16. Функциональные последовательности и ряды

Переходя в последнем неравенстве к верхней грани по x

E, видим, что fn f по определению 2.

E

Рассмотрим функциональный ряд

∞

X

k=1

Определение 3. Говорят, что ряд (3) сходится на множестве E, если числовой ряд

∞

X

k=1

сходится при каждом фиксированном x E.

При этом говорят также, что ряд (3) сходится на E по-

точечно.

Таким образом, поточечная сходимость ряда (3) на E

совпадает с поточечной сходимостью на E последователь-

∞

P

ности Sn B uk его частичных сумм.

k=1

Определение 4. Говорят, что ряд (3) сходится на E равномерно, если последовательность {Sn} его частичных сумм сходится на E равномерно.

Следующее определение эквивалентно, очевидно, определению 4

Определение 40. Говорят, что ряд (3) сходится на E равномерно, если он сходится на E и

§ 16.1. Равномерная сходимость функ. послед-стей и рядов 287

Ряд сходится для x E по признаку Лейбница. По тому же признаку остаток ряда не превосходит

Следовательно, по определению 40 ряд равномерно сходится на (−∞, +∞).

Обратим внимание читателя на то, что этот ряд не сходится абсолютно ни при каком значении x (−∞, +∞).

Теорема 2 (необходимое условие равномерной сходимости ряда). Пусть ряд (3) равномерно сходится на E. Тогда

un 0.

E

До к а з а т е л ь с т в о следует из того, что un = Sn −

−Sn−1, Sn S, Sn−1 S.

EE

Понятия сходимости ряда, сходимости ряда на множестве, равномерной сходимости ряда на множестве определяются в терминах соответствующих понятий для последовательностей частичных сумм ряда. Поэтому многие свойства функциональных рядов являются перефразировкой соответствующих свойств функциональных последовательностей и наоборот. Так, например, простым следствием теоремы 1 является

Теорема 3 (критерий Коши равномерной сходи-

мости ряда). Ряд (3) сходится на E равномерно тогда и только тогда, когда выполняется условие Коши:

Значит, для этих же ε > 0 и n(ε)

XX

P

и|uk| равномерно сходятся на E.

Частным случаем доказанной теоремы является

Теорема 2 (признак Вейерштрасса). Пусть uk:

E → C, E Rd, причем

|uk(x)| 6 ak x E, k N.

Определение 1. Последовательность функций {fn}, fn: E → C, E Rd, называется равномерно ограниченной на E, если

M : |fn(x)| 6 M x E, n N.

Следующие два признака относятся к ряду вида

k=1

где ak: E → R, uk: E → C, E Rd.

Теорема 3 (признак Дирихле). Пусть последо-

вательность действительнозначных функций ak(x) при каждом x E монотонна и ak 0. Пусть частичные суммы

P

ряда uk(x) комплекснозначных функций uk равномерно ограничены на E.

Тогда ряд (1) равномерно сходится на E.

290Глава 16. Функциональные последовательности и ряды

До к а з а т е л ь с т в о. Применяя преобразование Абеля (15.4.5), получаем

n+p

X

ak(x)uk(x) =

В силу равномерной ограниченности частичных сумм ряда

Тогда, используя монотонность ak(x) (по k), имеем

n > n(ε), p N, x E.

Применяя критерий Коши (теорема 16.1.3), получаем, что ряд (1) сходится на E равномерно.

Теорема 4 (признак Абеля). Пусть последователь-

ность действительнозначных функций ak(x) равномерно ограничена на множестве E Rd и при каждом x E

P

последовательность ak(x) монотонна. Пусть ряд uk(x) равномерно сходится на E.