Бесов

242 Глава 14. Определенный интеграл

рывна и неотрицательна на [a, b], тело Ω R3 образовано вращением криволинейной трапеции (1) вокруг оси Ox.

Устремляя |τ| → 0, получаем отсюда, что

Z b

µΩ = π f2(x) dx.

a

(4) Вычисление длины кривой. Пусть кривая = = {~r =~r(t), a 6 t 6 b} непрерывно дифференцируема.

Ранее было установлено, что непрерывно дифференцируемая кривая спрямляема (имеет длину) и что производная переменной длины дуги s(t) этой кривой

s0(t) = |~r0(t)|.

Пусть S — длина кривой . Тогда

Z b Z b

S = s(b) − s(a) = s0(t) dt = |~r0(t)| dt =

aa

Z b

p

=x02(t) + y02(t) + z02(t) dt.

a

Если — плоская кривая, заданная уравнением = = {(x, f(x)), a 6 x 6 b}, то ее длина

Z b

p

S = 1 + (f0(x))2 dx.

a

(5) Площадь поверхности вращения. Пусть f непре-

рывно дифференцируема и неотрицательна на [a, b]. Пусть S — поверхность, образованная вращением кривой = = {(x, f(x)), a 6 x 6 b}, т. е. графика функции f, вокруг оси Ox. Площадь ее (определение которой будет дано ниже)

обозначим символом mes S.

Пусть τ = {xi}i0τ , a = x0 < x1 < . . . < xiτ = b —

разбиение отрезка [a, b]. Построим вписанную в ломаную (τ), соединив отрезками последовательно точки кривой : (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , iτ . Поверхность, образованную вращением ломаной (τ) вокруг оси Ox, обозначим через S(τ). Она представляет собой объединение боковых поверхностей усеченных конусов или цилиндров, площади

§ 14.7. Несобственные интегралы

Определение 1. Пусть функция f: [a, b) → R, b 6 +∞, интегрируема по Риману на любом отрезке [a, b0] [a, b).

Символ

Z b

a

называется несобственным интегралом (Римана) по полу-

интервалу [a, b). Говорят, что несобственный интеграл (1) сходится, и пишут

ab0→b−0 a

если указанный предел существует, и что несобственный интеграл (1) расходится — в противном случае (здесь и далее символ +∞ − 0 равнозначен символу +∞).

Таким образом, в случае сходимости несобственным интегралом называют не только символ, но и число.

Сравним понятия интеграла Римана и несобственного интеграла Римана. Если b = +∞, то функция f задана на бесконечном промежутке, для которого интеграл Римана не определен, в то время, как несобственный интеграл (2) может существовать. Если же b < +∞, а функция f неограничена на [a, b), то интеграл Римана по [a, b] не существует, в то время как несобственный интеграл (2) может существовать.

Если функция f интегрируема по Риману по отрезку [a, b], то сходится и несобственный интеграл (2) по [a, b) и оба этих интеграла равны. Это следует из непрерывности Rab0 f(x) dx как функции b0 в силу теоремы 14.4.1.

Упражнение 1. Доказать, что если функция ограничена на отрезке [a, b] и интегрируема по Риману на [a, b0][a, b), то она интегрируема по Риману по [a, b], и, следовательно, ее интеграл Римана по [a, b] и несобственный интеграл по [a, b) совпадают.

246Глава 14. Определенный интеграл

Ук а з а н и е. Воспользоваться критерием интегрируемости.

Таким образом, понятие несобственного интеграла

шире понятия интеграла Римана.

Пример 1. Несобственный интеграл R1∞ xdxα сходится при α > 1 и расходится при α 6 1.

Теорема 1 (критерий Коши сходимости несоб-

ственного интеграла). Пусть функция f интегрируема на любом отрезке [a, b0] [a, b). Тогда для сходимости несобственного интеграла (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши

Z b00

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сходимость несобственного интеграла (1) по определению равносильна существованию предела функции F (x) = Rax f(t) dt при x → b − 0, что равносильно выполнению условия Коши для F . Последнее же совпадает с (3).

Сходимость несобственного интеграла (1) равносильна сходимости несобственного интеграла Rab f(x) dx при ка- ком-либо a [a, b). Это сразу следует из критерия Коши, поскольку условия Коши для этих двух несобственных интегралов очевидным образом равносильны.

С помощью предельного перехода при b0 → b−0 на несобственные интегралы переносится ряд свойств определенного интеграла.

1.◦ Пусть несобственный интеграл (1) сходится. Тогда

Покажем лишь, как из сходимости интеграла, стоящего

вправой части, вытекает сходимость интеграла, стоящего

влевой части. Пусть ε > 0. Тогда существует

Z β00

Положим bε B ϕ(βε). Тогда по теореме Коши о промежуточном значении

R

Изучим теперь несобственные интегралы от неотрицательных функций.

Теорема 2. Пусть f > 0 на [a, b). Для сходимости несобственного интеграла Rab f(x) dx необходимо и достаточно, чтобы

Z b0

M : f(x) dx 6 M b0 [a, b).

a

Д о к а з а т е л ь с т в о. Интеграл Rab0 f(x) dx как функция b0 возрастает. Поэтому сходимость интеграла

Rab f(x) dx (т. е. существование конечного предела этой функции при b0 → b − 0) равносильна ограниченности ин-

теграла Rab0 f(x) dx как функции b0.

Теорема 3 (сравнения). Пусть функции f, g инте-

грируемы на любом отрезке [a, b0] [a, b) и 0 6 f 6 g на [a, b). Тогда

1.◦ сходимость Rab g(x) dx влечет сходимость Rab f(x) dx;

2.◦ расходимость Rab f(x) dx влечет расходимость

Rab g(x) dx.

aa

По теореме 2 Rab f(x) dx сходится.

2◦. Расходимость Rab g(x) dx легко доказывается от противного.

Следствие 1. Пусть функции f, g интегрируемы на

[a, b0] [a, b) и f > 0, g > 0 на [a, b). Пусть еще

lim f(x) = k (0, +∞).

x→b−0 g(x)

свойства 2◦ несобственных интегралов и теоремы 3 сходимость интегралов

одновременная. Теперь остается лишь учесть, что сходимость последних двух интегралов не зависит от выбора a

[a, b).

Определение 2. Несобственный интеграл Rab f(x) dx

называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл Rab |f(x)| dx.

Теорема 4. Абсолютно сходящийся интеграл сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что из сходимости интеграла Rab |f(x)| dx следует, что для него выполняется условие Коши (3). Но тогда условие (3) выполняется и для интеграла Rab f(x) dx в силу оценки

Применяя критерий Коши к интегралу емся, что он сходится.

Из последнего неравенства следует, что в условиях тео-

поскольку функция может не быть интегрируемой на неко тором отрезке [a, b0], в то время как модуль ее интегрируем на этом отрезке. Пример такой функции был приведен в § 13.3 при доказательстве свойства 7◦ интегрируемых функций.

З а м е ч а н и е. Сходящийся интеграл может не являться абсолютно сходящимся, как, например,

Определение 3. Пусть f: (a, b] → R, −∞ 6 a, инте-

грируема по Риману на любом отрезке [a0, b] (a, b]. Сим-

вол Rab f(x) dx называется несобственным интегралом (Римана) с особенностью в a (или с особенностью на нижнем пределе). При этом говорят, что несобственный интеграл