Бесов

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f(x0) = d > 0. Тогда найдется отрезок [a , b ] [a, b], b − a > 0, на котором f > d2 . Имеем в силу 5◦

произвольное число

< M, µ = m, µ = M. В первом из них, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, ξ (a, b): f(ξ) = M и из (3) следует (4).

Случаи µ = m и µ = M рассматриваются одинаково. Поэтому рассмотрим лишь случай µ = M.

Если максимум M функции f достигается в некоторой точке ξ (a, b), то из (3) следует (4) с этим значением ξ.

Остается нерассмотренным лишь случай, когда µ = M, f(x) < M при x (a, b). Покажем, что этот случай неосуществим, что и завершит доказательство теоремы.

В условиях этого случая из (3) следовало бы, что

Z b

[M − f(x)]g(x) dx = 0.

a

234 Глава 14. Определенный интеграл

h i

Но функция G непрерывна на 0, b −2 a (что будет показано в следующем параграфе). Поэтому, переходя в последнем равенстве к пределу при ε → 0 + 0, получаем, что

Z b

g(x) dx = 0,

a

что противоречит предположению.

§ 14.4. Связь между определенным и неопределенным интегралами

Пусть f интегрируема на [a, b]. Тогда на [a, b] определена функция

называемая интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Пусть f интегрируема на [a, b]. Тогда функция F непрерывна на [a, b].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x0, x0+Δx [a, b]. Тогда

Функция f ограничена на [a, b] (поскольку она интегрируема), так что при некотором M

§ 14.5. Замена переменной и интегрирование по частям 237

Значение формулы Ньютона–Лейбница в том, что она связывает два понятия: неопределенного и определенного интеграла, которые были введены и изучались независимо. Она дает возможность вычислить определенный интеграл, если найден неопределенный.

§ 14.5. Замена переменной и интегрирование по частям

Теорема 1 (замена переменной). Пусть функции

ϕ, ϕ0 непрерывны на отрезке [α, β], а функция f непрерывна на отрезке ϕ([α, β]), a B ϕ(α), b B ϕ(β). Тогда

aα

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть Φ — первообразная для

f на отрезке ϕ([α, β]). Тогда Φ(ϕ) — первообразная для f(ϕ)ϕ0 на отрезке [α, β], поскольку (Φ(ϕ))0(t) = f(ϕ(t))ϕ0(t),

где производные при t = α, β понимаются как односторонние (см. теорему 5.5.1 и замечание к ней).

Дважды воспользовавшись формулой Ньютона–Лейбни- ца, получаем (при любом расположении точек a и b)

Z b

f(x) dx = Φ(b) − Φ(a),

a

Z β

f(ϕ(t))ϕ0(t) dt = Φ(ϕ(β)) − Φ(ϕ(α)) = Φ(b) − Φ(a).

α

Из этих двух равенств вытекает утверждение теоремы.

b

где u(x)v(x) = u(b)v(b) − u(a)v(a).

a

238 Глава 14. Определенный интеграл

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства

u(x)v0(x) = (u(x)v(x))0 − u0(x)v(x), a 6 x 6 b,

следует, что

Z b Z b Z b

u(x)v0(x) dx = (u(x)v(x))0 dx − u0(x)v(x) dx.

a a a

Остается заметить, что по формуле Ньютона–Лейбница

Z b

(u(x)v(x))0 dx = u(b)v(b) − u(a)v(a).

a

Определение 1. Функция f: [a, b] → R называется не-

прерывной и кусочно непрерывно дифференцируемой (или непрерывной и кусочно гладкой) на [a, b], если она непрерывна на [a, b] и существует разбиение τ = {ai}i0τ отрезка [a, b], при котором производная f0 непрерывна на каждом отрезке [ai−1, ai], если в концах его производную понимать как одностороннюю.

Обобщим понятие определенного интеграла.

Определение 2. Интегралом по отрезку [a, b] функ-

ции f, определенной на отрезке [a, b], за исключением конечного числа точек, называется

Z b Z b

f(x) dx B f˜(x) dx,

aa

если стоящий справа интеграл существует, где f˜: [a, b] → → R — каким-либо образом доопределенная в этих точках

Теорема 3 (интегрирование по частям). Пусть функции u, v непрерывны и кусочно непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b]. Тогда справедлива формула (2).

240 Глава 14. Определенный интеграл

Перечислим свойства меры, которые будут использованы в этом параграфе:

a) если P — прямоугольный параллелепипед в Rn,

(a1, b1) × . . . × (an, bn) P [a1, b1] × . . . × [an, bn], то

µP = Qn (bj − aj);

j=1

b)(аддитивность меры), если множества E1, E2 измеримы,

иE1 ∩ E2 6= , то µ(E1 E2) = µE1 + µE2;

c)(монотонность меры), если множества E1, E2 измеримы,

иE1 E2, то µE1 6 µE2.

(1)Площадь криволинейной трапеции. Криволиней-

ной трапецией называется множество G R2 вида

где функция f непрерывна на отрезке [a, b], f > 0 на [a, b].

Пусть τ = {xi}i0τ , a = x0 < x1 < . . . < iτ = b, mi =

= min f, Mi = max f.

[xi−1,xi] [xi−1,xi]

Построим две замкнутые ступенчатые фигуры G (τ), G (τ) следующим образом: