Бесов

Все производные первого и второго порядка этих функций в точке (0, 0) равны нулю, однако в этой точке функция f имеет строгий минимум, а функция g не имеет экстремума.

§ 13.2. Условный локальный экстремум

Пусть на открытом множестве G Rn заданы функции f, ϕ1, . . . , ϕm (1 6 m < n). Уравнения

будем называть уравнениями связи. Пусть E B {x: x G,

ϕj(x) = 0, 1 6 j 6 m}.

Определение 1. Точка x(0) E называется точкой условного минимума [строго условного минимума] функ-

ции f при связях (1), если δ > 0, при котором

f(x(0)) 6 f(x) [f(x(0)) < f(x)]

(строго условного экстремума).

З а м е ч а н и е о терминологии. Вместо термина «условный» употребляется также термин «относительный». Ради краткости вместо «при связях (1)» будем писать «при (1)».

Пример 1. G = R2, f(x1, x2) = x21 + x22, m = 1,

ϕ(x1, x2) = x1 +x2 −1. Найти условный экстремум функции f при x1 + x2 − 1 = 0.

212 Глава 13. Экстремумы функций многих переменных

Введем функцию

Φ(xm+1, . . . , xn) B

B f(µ1(xm+1, . . . , xn), µ2(), . . . , µm(), xm+1, . . . , xn).

Очевидно, что x(0) тогда и только тогда является точкой условного экстремума f при (1), когда (x(0)m+1, . . . , x(0)n )

является точкой локального экстремума функции Φ. Таким образом, вопрос нахождения условного экстремума сведен к вопросу нахождения локального экстремума (который называют иногда абсолютным экстремумом, подчеркивая его отличие от условного экстремума). Однако такой подход малоэффективен в связи с трудностями получения в явном виде функций µ1, . . . , µm и построения суперпозиции.

Отметим эквивалентность систем линейных уравнений относительно дифференциалов: (3) (30), где

с коэффициентами, взятыми в точке x(0). В самом деле, при любых фиксированных dxm+1, . . . , dxn решение (3) единственно, так как ее определитель отличен от нуля; решение (30) также, очевидно, единственно. В то же время реше-

ние (30) удовлетворяет (3), так как результат подстановки решения (30) в (3) совпадает с системой продифференциро-

Теорема 1 (необходимое условие условного экс-

тремума). Точка x(0) условного экстремума f при (1) является условно стационарной точкой f при (1).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем

[x(0) — точка условного экстремума f при (1)]

[(x(0)m+1, . . . , x(0)n ) — точка (абсолютного) экстремума

x(0) E является условно стационарной точкой функции f при (1) тогда и только тогда, когда существуют числа λ1, . . . , λm такие, что x(0) является стационарной точкой функции Лагранжа:

При этом числа λj определяются однозначно.

Вычислим dΦ, d2Φ в точке (x(0)m+1, . . . , x(0)n ), считая xm+1,

. . . , xn независимыми переменными:

торые, являясь достаточными условиями локального экстремума функции Φ, формулируются в терминах свойств квадратичной формы d2Φ, можно переформулировать в терминах квадратичной формы:

рывно дифференцируемы в некоторой окрестности стационарной точки x(0) функции Лагранжа L.

Тогда:

1.◦ d2L > 0[< 0] при |dx| > 0 x(0) — точка строгого условного минимума (максимума) f при (1);

2.◦ d2L > 0 (< 0) при |dx| > 0 x(0) — точка строгого условного минимума (максимума) f при (1);

3.◦ d2L — неопределенная квадратичная форма ничего сказать нельзя;

4.◦ d2L — неопределенная квадратичная форма в точке x(0) нет условного экстремума.

216 Глава 13. Экстремумы функций многих переменных

План исследования функции на условный экстремум методом множителей Лагранжа. Пусть функ-

ции f, ϕ1, . . . , ϕm (1 6 m < n) непрерывно дифференци-

fпри связях (1) поступают так:

1)Составляют функцию Лагранжа:

2) Находят стационарные точки функции Лагранжа, лежащие на E (только они могут являться точками условного экстремума), т. е. решают систему n + m уравнений

прерывно дифференцируемы, составляют d2L и, если по-

требуется, d2L. Применяют теорему 2 для выяснения типа условного экстремума.

4) Находят значения функции f в точках условного экстремума.

Пример 2. Найдем точки условного экстремума функ-

ции f(x, y, z) = xyz, если x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 0.

найдем стационарные точки, удовлетворяющие уравнениям связи, решив систему уравнений

Но 2(yz + xz + xy) = (x + y + z)2 − (x2 + y2 + z2) = 0 − 1, и

из (5) получаем λ2 = −16 .

Разность первых двух уравнений (4) представляется в виде (y − x)(z + 2λ1) = 0. Аналогично получаем еще два уравнения:

(z − y)(x + 2λ1) = 0, (x − z)(y + 2λ1) = 0.

Из этих трех уравнений следует (в силу последних двух уравнений из (4)), что

(y − x)(z − y)(x − z) = 0.

Рассмотрим для определенности лишь случай y −x = 0. Остальные два рассматриваются аналогично.

218 Глава 13. Экстремумы функций многих переменных

В рассматриваемом случае имеются две стационарные

Будем исследовать их одновременно.

d2L = −2λ1(dx√2 + dy2 + dz2) + 2z dx dy + 2y dx dz+

+2x dy dz = ± 66[dx2 + dy2 + dz2 −4 dx dy + 2 dx dz + 2 dy dz]

является неопределенной квадратичной формой, т. е. при-

соответственно 186 .

Глава 14 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 14.1. Определенный интеграл

Определение 1. Разбиением τ отрезка [a, b] называ-

ется произвольная конечная система его точек τ = {xi}iiτ=0

такая, что a = x0 < x1 < . . . < xiτ −1 < xiτ = b.

Каждый из отрезков [xi−1, xi] называется отрезком разбиения τ, xi B xi − xi−1. Величина |τ| B max xi назы-

вается мелкостью разбиения τ.

Будем говорить, что разбиение τ0 следует за разбие-

нием τ или является измельчением разбиения τ, и писать

τ0 τ, если каждая точка разбиения τ является и точкой разбиения τ0.

Разбиения данного отрезка обладают следующими свой-

ствами:

1.◦ Если τ1 τ2, τ2 τ3, то τ1 τ3.

2.◦ Для любых τ1, τ2 τ: τ τ1, τ τ2.

Первое свойство очевидно. Для доказательства второго достаточно в качестве τ взять разбиение, содержащее все точки разбиения τ1 и все точки разбиения τ2.

называемую интегральной суммой Римана функции f.

Если функция f неотрицательна, слагаемое f(ξi)Δxi суммы Римана равно площади прямоугольника с основанием [xi−1, xi] и высотой f(ξi), а вся сумма — площади ступенчатой фигуры, образованной объединением всех таких прямоугольников.

Определение 2. Число I называется определенным интегралом Римана функции f на отрезке [a, b] и обозна-

Z b

для любых τ с мелкостью |τ| < δ и любого набора отмечен-

ных точек ξ1, . . . , ξiτ .

Функцию f при этом называют интегрируемой по Риману на отрезке [a, b].

Кратко можно записать

Z b

f(x) dx B lim Sτ (f; ξ1, . . . , ξiτ ),

a|τ|→0

вкладывая в понятие предела тот смысл, который выражен в ε, δ-терминах в определении 1 (это понятие отличается от изученных понятий предела последовательности и предела функции).

Поскольку дальше мы будем иметь дело лишь с определенным интегралом Римана, то будем называть его просто определенным интегралом, а функцию, интегрируемую по Риману, — просто интегрируемой функцией.

В следующей теореме показывается, что интеграл может существовать только для ограниченных функций.

Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.