Бесов

§ 12.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением 191

y единственно в силу строгой монотонности F (x , y). Обозначим y = f(x ). Таким образом, построена функция f:

Qδ(x0) → Qε(y0) такая, что f(x0) = y0,

F (x, y) = 0 y = f(x) на Qδ,ε(x0, y0).

Из последнего соотношения получаем, что

F (x, f(x)) = 0 при x Qδ(x0).

Установим непрерывность функции f на Qδ(x0). Ее непрерывность в точке x0 следует из того, что в приведенных построениях число ε > 0 можно было взять сколь угодно малым, причем для каждого малого ε > 0 было указано

δ = δ(ε) > 0 такое, что f(Qδ(x0)) Qε(y0) = Qε(f(x0)).

Пусть теперь x — произвольная точка из Qδ(x0), y = = f(x ). Очевидно, что если условия теоремы 1 с заменой 3◦ на 3 выполнены, то они выполняются и после замены в них (x0, y0) на (x , y ). Следовательно, по уже доказанному, f непрерывна в точке x .

Предположим теперь, что выполнено условие 4◦. В силу дифференцируемости F

F (x0 + x, y0 + y) − F (x0, y0) =

= Fx0 (x0, y0)Δx + Fy0 (x0, y0)Δy + ε(Δx, y)p(Δx)2 + (Δy)2,

здесь | x| достаточно малым, а y = f(x0 + x) − f(x0) =

=f(x0).

Тогда из последнего равенства получаем

Если функция F дифференцируема не только в точке (x0, y0), а на окрестности Qδ,ε(x0, y0), последняя формула

§ 12.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением 193

верна для x Qδ(x0):

Обобщим теорему 1 на случай неявной функции, заданной уравнением F (x1, . . . , xn, y) = 0. Это понятие вводится так же, как в случае n = 1.

Далее будем пользоваться обозначениями:

x = (x1, . . . , xn), x(0) = (x(0)1 , . . . , x(0)n ),

(x, y) = (x1, . . . , xn, y), (x(0), y0) = (x(0)1 , . . . , x(0)n , y0), F (x, y) = F (x1, . . . , xn, y).

Теорема 2. Пусть функция F переменных (x, y) = = (x1, . . . , xn, y) удовлетворяет следующим условиям:

1.◦ F непрерывна на некоторой окрестности U(x(0), y0)

точки (x(0), y0);

2.◦ F (x(0), y0) = 0;

3.◦ Fy0 (x(0), y0) 6= 0, Fy0 непрерывна в точке (x(0), y0).

Тогда существует прямоугольная окрестность точки

(x(0), y0) Qδ,ε(x(0), y0) = Qδ(x(0)) × Qε(y0) такая, что на ней

F (x, y) = 0 y = f(x),

где функция

f : Qδ(x(0)) → Qε(y0)

непрерывна на Qδ(x(0)), f(x(0)) = y0.

Если же дополнительно считать, что

4.◦ F дифференцируема в точке (x(0), y0), то f дифференцируема в точке x(0), и при i = 1, 2, . . . , n

∂f (x(0)) = − Fx0i (x(0), y0) . ∂xi Fy0 (x(0), y0)

Если же при этом все частные производные первого порядка функции F непрерывны на U(x(0), y0), то при i = = 1, 2, . . . , n

можно отказаться от требования

f : Qδ(x(0)) → Qε(y0).

Тогда, уменьшив при необходимости ε (или δ), можно взять ε = δ. При этом сохранится свойство эквивалентности

F (x, y) = 0 y = f(x)

вQδ(x(0), y0) = Qδ(x(0)) × Qδ(y0) Rn+1

ивыражение частных производных fx0 i (x) для тех xQδ(x(0)), для которых f(x) Qδ(y0).

§12.2. Система неявных функций

Теоремы предыдущего параграфа дают достаточные условия разрешимости уравнения F (x, y) = 0 относительно переменной y. Рассмотрим более общую задачу — о возможности разрешить систему m уравнений относительно m переменных.

Для системы m функций {uj(t)}mj=1 переменных t = = (t1, . . . , tm) определитель

y = (y1, . . . , ym) = (˜y, ym), y˜ = (y1, . . . , ym−1), (x, y) = (x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) Rn+m, (x, ym) =

= (x1, . . . , xn, ym), F (x, y) = F (x1, . . . , xn, y1, . . . , ym).

Теорема 1. Пусть

1.◦ Функции Fj(x, y) = Fj(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) (i =

= 1, . . . , m) непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности U(x(0), y(0)) точки (x(0), y(0));

2.◦ Fj(x(0), y(0)) = 0 (j = 1, . . . , m);

3.◦ J = ∂(F1, . . . , Fm)

∂(y1, . . . , ym) (x(0),y(0))

Тогда существует прямоугольная окрестность Qδ(x(0)) × × Qε(y(0)), в которой

{Fj(x, y) = 0}mj=1 {yj = fj(x)}mj=1,

где (f1, . . . , fm): Qδ(x(0)) → Qε(y(0)), функции fj непрерывно дифференцируемы на Qδ(x(0)), fj(x(0)) = yj(0) (j =

=1, 2, . . . , m).

До к а з а т е л ь с т в о проведем индукцией по m — числу уравнений системы.

(a){Fi(x, y) = 0}mj=1.

При m = 1 теорема верна, как совпадающая с теоремой 11.1.2. Предположим, что теорема справедлива для m − 1 уравнений, и покажем, что она верна тогда и для случая m уравнений.

Разложив определитель J по элементам последнего столбца, видим, что, по крайней мере, для одного элемента этого столбца алгебраическое дополнение отлично от нуля.

196 Глава 12. Неявные функции

В силу предположения индукции систему первых m − 1 уравнений системы (a) можно разрешить относительно y1,

. . . , ym−1. Говоря точнее (см. теорему 12.1.2 и замечание 12.1.1), существуют число η > 0 и непрерывно дифференцируемые функции

ϕj : Qη(x(0), y(0)) → R, ϕj(x(0), ym(0)) = yj(0)

(j = 1, . . . , m − 1)

такие, что на Qη(x(0), y(0)) U(x(0), y(0)) (a) (b) (т. е.

при (x, ym) U(x(0), ym(0)), где U(x(0), ym(0)) — достаточно

малая окрестность точки (x(0), ym(0)).

Очевидно, что на Qη(x(0), y(0)) (b) (c), где

Φ(x, ym) = Fm(x, ϕ1(x, ym), . . . , ϕm−1(x, ym), ym),

Φ(x(0), ym(0)) = Fm(x(0), y(0)) = 0.

Убедимся, что последнее уравнение системы (c) можно разрешить относительно ym. В самом деле, Φ непрерывно дифференцируема на U(x(0), y(0)) как суперпозиция непрерывно дифференцируемых функций, Φ(x(0), y(0)) = 0.

∂Φ(x(0), y(0))

Остается проверить, что m 6= 0, и сослаться

∂ym

на теорему 12.1.2. Осуществим эту проверку.

При этом последнее равенство получено прибавлением к последнему столбцу определителя суммы всех предшеству-

ющих столбцов, помноженных соответственно на ∂ϕj (j =

∂ym

=1, 2, . . . , m − 1), и использованием равенств (2), (3). Из последнего неравенства следует, что

∂Φ (x(0), y(0)) 6= 0.

∂ym

Разрешив последнее уравнение системы (c) относительно ym в соответствии с теоремой 10.1.2 и замечанием 12.1.1, получаем, что на некоторой кубической окрест-

ности Qε(x(0), y(0)) Qη(x(0), y(0))

Φ(x, ym) = 0 ym = fm(x),

где функция fm: Qε(x(0)) → R непрерывно дифференциру-

ема, fm(x(0)) = ym(0).

198 Глава 12. Неявные функции

Тогда на Qε(x(0), y(0)) (c) (d) (e), где

и fj(x) = ϕj(x, fm(x)) (i = 1, . . . , m − 1).

При этом функции fj: Qε(x(0)) → R непрерывно дифференцируемы и fj(x(0)) = yj(0) (j = 1, . . . , m).

Возьмем теперь δ (0, ε] столь малым, что

fj : Qδ(x(0)) Qε(yj(0)),

что возможно в силу непрерывности fj в точке x(0) (мы перешли от fj к сужению fj на Qδ(x(0)), но не отмечаем

этого в обозначениях). Тогда

(f1, . . . , fm) : Qδ(x(0)) Qε(y(0))

и (a) (e) на Qδ(x(0)) × Qε(y(0)).

Теорема доказана.

З а м е ч а н и е. В качестве следствия теоремы

с отличным от нуля определителем, из которой можно

найти ∂f1 , . . . , ∂fm .

∂xk ∂xk

§ 12.3. Дифференцируемые отображения

называется отображением множества G в Rm. Предста-

вляя при x G f(x) Rm через координаты

видим, что задание отображения f равносильно заданию на G m числовых функций

называемых координатными функциями.

Множество

f(E) = {y Rm : y = f(x), x E}, E G,

называется образом множества E, множество f(G) —

областью значений f, а множество

f−1(D) = {x Rn : f(x) D}, D Rm,

— прообразом множества D.

Определение 2. Отображение (1) называется непре-

рывным в точке x(0) G, если для

U(f(x(0))) U(x(0)) G : f(U(x(0)) U(f(x(0)))).

Лемма 1.Отображение (1) непрерывно в точке x(0) G тогда и только тогда, когда в точке x(0) непрерывны все координатные функции (3).

До к а з а т е л ь с т в о аналогично случаю n = 1, m =

=3, с которым мы сталкивались при изучении векторфункций.

Определение 3. Отображение (1) называется непре-

рывным на открытом множестве G, если оно непрерывно в каждой точке множества G.

Теорема 1. Пусть отображение (1) непрерывно на открытом множестве G. Тогда (и только тогда) прообраз всякого открытого множества является открытым множеством.