Бесов

Упражнение 1. Показать, что свойство (2) является определяющим свойством касательной плоскости в том смысле, что никакая другая плоскость таким свойством не обладает. Рассуждать можно аналогично тому, как это делалось при изучении касательной к графику функции одной переменной.

Из (1) видно, что дифференциал функции f в точке (x0, y0) совпадает с приращением аппликаты касательной плоскости к графику f в точке (x0, y0, f(x0, y0)) (ср. (1) и определение 11.1.2). В этом состоит геометрический смысл

где α — угол между (лежащей в плоскости y = y0) касательной к в точке (x0, y0, f(x0, y0)) и осью Ox. В

этом состоит геометрический смысл частной производной

∂f∂x (x0, y0).

Аналогично выявляется геометрический смысл частной производной ∂f∂y (x0, y0).

§ 11.3. Дифференцируемость сложной функции

Теорема 1. Пусть каждая из m функций f1, . . . , fm от n переменных дифференцируема в точке x(0) Rn.

Пусть функция g m переменных дифференцируема в точке y(0) = (f1(x(0)), . . . , fm(x(0))). Тогда сложная функ-

174 Глава 11. Дифференциальное исчисление функций

В условиях теоремы на основании (1) можно записать

dg(f1(x(0)), . . . , fm(x(0))) =

дифференциалы независимых переменных. В этом и состоит свойство инвариантности формы первого дифференциала.

Приведем пример его применения. Формулы

для независимых переменных u, v следуют из выражения дифференциала функции через частные производные и дифференциалы независимых переменных. Эти формулы верны и в случае, когда u, v являются функциями u = u(x), v = v(x) переменных x = (x1, . . . , xn) в силу инвариантности формы первого дифференциала.

Свойство инвариантности формы первого дифференциала можно использовать при нахождении дифференциалов

176 Глава 11. Дифференциальное исчисление функций

Для дифференцируемой в точке (x0, y0, z0) функции f трех переменных x, y, z

Тогда, используя скалярное произведение, можно напи-

Если вектор grad f ненулевой, то существует единствен-

ное направление e, производная по которому ∂f∂e = | grad f|.

Это направление e = |gradgradff|.

Отсюда вытекает геометрическая характеристика градиента — это вектор, по направлению которого производная имеет максимальное значение.

На этом основании условно можно сказать, что напра-

вление градиента — это направление быстрейшего роста функции.

§ 11.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Если в некоторой окрестности точки x(0) Rn функ-

ция f имеет частную производную ∂f , то в точке x(0) у

∂xi

этой производной может существовать частная производ-

ная ∂ ∂f .

∂xk ∂xi

Если k 6= i, то эту производную называют смешанной частной производной второго порядка функции f по пе-

ременным xi и xk и обозначают символом ∂2f (x(0)) или

∂xk∂xi

fx00ixk (x(0)), а если k = i, то эту производную называют

(чистой) частной производной второго порядка функции

f по переменной xi и обозначают символом ∂2f (x(0)) или

∂x2i

fx00ixi (x(0)).

Аналогично вводятся частные производные третьего, четвертого и вообще любого порядка, смешанные и чистые.

Если в данной точке x(0) существуют смешанные производные

то они не обязательно равны, в чем можно убедиться на примере функции двух переменных x, y

Однако часто бывает, что смешанные производные, отличающиеся лишь порядком взятия частных производных, совпадают. В следующей теореме приводятся достаточные условия независимости смешанной производной от порядка дифференцирования.

178 Глава 11. Дифференциальное исчисление функций

Теорема 1. Пусть для функции f двух переменных

yf приращения функции f в точке (x0, y0), вызванные

− f(x0, y0 + y) − f(x0 + x, y0) + f(x0 + x, y0 + y)).

Из условий теоремы следует существование частных про-

изводных ∂f∂x , ∂f∂y в некоторой окрестности точки (x0, y0).

Применяя к левой части равенства теорему Лагранжа о конечных приращениях по аргументу x, а к правой — эту же теорему Лагранжа по y, имеем

Применяя к обеим частям последнего равенства ту же теорему Лагранжа соответственно по аргументу y и x, имеем

С помощью теоремы 1 можно доказать ее обобщение, относящееся к функциям n переменных и смешанным производным любого порядка m > 2.

Теорема 2. Пусть для функции n переменных в точке x(0) Rn непрерывны все смешанные частные производные порядка m > 2. Тогда смешанные производные в этой точке, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, совпадают.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В условиях доказываемой теоремы с помощью теорем 11.1.3 и 11.1.2 сразу получаем, что все смешанные производные порядка m − 1 непрерывны в точке x(0), а значит, и все смешанные производные всех порядков до m включительно непрерывны в точке x(0).

Рассмотрим две смешанные производные функции f в точке x(0), отличающиеся лишь порядком дифференцирования. Покажем, что они равны. Построим (конечную) последовательность смешанных производных, первый и последний члены которых суть наши смешанные производные, а другие члены — смешанные производные порядка m, отличающиеся от наших лишь порядком дифференцирования. Пусть еще каждые две смешанные производные, стоящие на соседних местах, отличаются друг от друга лишь порядком дифференцирования на (k − 1)-м и k-м шаге при некотором и единственном k (2 6 k 6 m). Тогда каждые две смешанные производные, стоящие на соседних местах в последовательности, равны между собой в силу теоремы 1, откуда следует равенство смешанных производных, стоящих на первом и последнем местах, что и требовалось показать.

В качестве пояснения напишем такую цепочку для случая n = 3, m = 3. Пусть мы хотим сравнить значения

180 Глава 11. Дифференциальное исчисление функций

= (fxz00 )0y = (fx0 )00zy = (fx0 )00yz = fxyz000 .

Заметим, что в дальнейшем мы почти всегда будем сталкиваться с ситуациями, когда смешанные производные непрерывны и, следовательно, не зависят от порядка дифференцирования.

Определение 1. Функция f называется m раз непрерывно дифференцируемой в точке (на множестве), если все ее частные производные порядка m непрерывны в точке (на множестве). Заметим, что эта точка (каждая точка этого множества) должна быть внутренней точкой области определения функции f.

C помощью теорем 11.1.3 и 11.1.2 получаем, что m раз непрерывно дифференцируемая в точке (на открытом множестве) функция имеет непрерывные в точке (на открытом множестве) все частные производные порядков не выше m.

Введем теперь понятие дифференциалов высших поряд-

ков. Пусть функция f дифференцируема на открытом множестве G Rn. Ее дифференциал, называемый также пер-

вым дифференциалом и дифференциалом первого порядка,

имеет вид

Будем изучать его как функцию точки x. Если, например, все частные производные первого порядка функции f дифференцируемы на G, то существует дифференциал δ от первого дифференциала δ(df(x)), при вычислении которого